Seja
o espaço de funções reais de números reais onde a soma é definida como
e a multiplicação por escalar como
. Determine se cada um dos seguintes subconjuntos de
é linearmente dependente ou linearmente independente.
;
Passo 1
O que o enunciado pede: decidir se o subconjunto
do espaço
é linearmente dependente ou linearmente independente.
Informações dadas:
- Os elementos do subconjunto são as funções reais
, e . - A soma e a multiplicação por escalar em
são as usuais ponto a ponto: . - A questão é verificar se existem escalares (reais) não todos nulos que façam alguma combinação linear dessas três funções igualar a função zero identicamente (para todo
).
Passo 2
Definição e ideia útil (explicação didática, sem pular etapas).
- Dizemos que as funções
são linearmente dependentes se existem escalares , não todos iguais a zero, tais que a combinação linear
para todo
. Aqui o
do lado direito é a função zero (a função que vale
para todo
).
- Dizemos que são linearmente independentes se a única solução para a equação acima for
.
Explicando com calma: procurar dependência é procurar uma relação entre as funções que se anule em todos os
. Se achar uma relação com algum coeficiente diferente de zero, então há dependência. Se for impossível exceto pelos coeficientes todos nulos, então há independência.
Passo 3
Usar uma identidade conhecida e muito simples para
.
Recordar a definição hiperbólica:
Essa é uma identidade verdadeira para todo
. A partir daí podemos manipular para obter uma combinação linear igual a zero. Multiplicando ambos os lados por
e reorganizando obtemos a relação
que é uma igualdade de funções: para cada
real o lado esquerdo vale
.
Passo 4
Interpretar a relação encontrada no contexto da definição.
A equação
mostra que existe uma combinação linear das três funções com coeficientes
,
,
que é a função zero para todo
. Esses coeficientes não são todos nulos (por exemplo
). Pelo que dissemos na definição, isso significa que as funções são linearmente dependentes.
Passo 5
Comentário complementar (matéria prática para prova — como reconhecer rápido).
- Sempre que uma das funções do conjunto pode ser escrita como combinação linear das outras (como aqui
), o conjunto é automaticamente dependente. - Em problemas parecidos, procure identidades algébricas ou trigonométricas/hiperbólicas que expressem uma função em termos das outras; isso dá a relação não trivial rapidamente.
- Para treinar: verifique que o par
é linearmente independente. (Rápida justificativa: se para todo , multiplicando por obtém-se para todo ; a única forma disso ocorrer é e .)
Resposta
Linearmente dependente.