Seja F o espaço de funções reais de números reais onde a soma é definida como \left(f_{1}+f_{2}\right)(x)= f_{1}(x)+f_{2}(x) e a multiplicação por escalar como \left(a \cdot f_{1}\right)(x)=a \cdot f_{1}(x). Determine se cada um dos seguintes subconjuntos de F é linearmente dependente ou linearmente independente.
\left\{e^{x}, e^{-x}, \operatorname{cosh} x\right\};

Passo 1

O que o enunciado pede: decidir se o subconjunto \{e^{x},\,e^{-x},\,\operatorname{cosh} x\} do espaço F é linearmente dependente ou linearmente independente.
Informações dadas:
  • Os elementos do subconjunto são as funções reais e^{x}, e^{-x} e \operatorname{cosh} x.
  • A soma e a multiplicação por escalar em F são as usuais ponto a ponto: \big(a f+b g\big)(x)=a f(x)+b g(x).
  • A questão é verificar se existem escalares (reais) não todos nulos que façam alguma combinação linear dessas três funções igualar a função zero identicamente (para todo x\in\mathbb{R}).

Passo 2

Definição e ideia útil (explicação didática, sem pular etapas).
  • Dizemos que as funções f_{1},f_{2},f_{3} são linearmente dependentes se existem escalares a,b,c, não todos iguais a zero, tais que a combinação linear
a f_{1}(x)+b f_{2}(x)+c f_{3}(x)=0
para todo x\in\mathbb{R}. Aqui o 0 do lado direito é a função zero (a função que vale 0 para todo x).
  • Dizemos que são linearmente independentes se a única solução para a equação acima for a=b=c=0.
Explicando com calma: procurar dependência é procurar uma relação entre as funções que se anule em todos os x. Se achar uma relação com algum coeficiente diferente de zero, então há dependência. Se for impossível exceto pelos coeficientes todos nulos, então há independência.

Passo 3

Usar uma identidade conhecida e muito simples para \operatorname{cosh} x.
Recordar a definição hiperbólica:
\operatorname{cosh} x=\frac{e^{x}+e^{-x}}{2}.
Essa é uma identidade verdadeira para todo x\in\mathbb{R}. A partir daí podemos manipular para obter uma combinação linear igual a zero. Multiplicando ambos os lados por 2 e reorganizando obtemos a relação
e^{x}+e^{-x}-2\operatorname{cosh} x=0,
que é uma igualdade de funções: para cada x real o lado esquerdo vale 0.

Passo 4

Interpretar a relação encontrada no contexto da definição.
A equação
e^{x}+e^{-x}-2\operatorname{cosh} x=0
mostra que existe uma combinação linear das três funções com coeficientes a=1, b=1, c=-2 que é a função zero para todo x. Esses coeficientes não são todos nulos (por exemplo a=1\neq0). Pelo que dissemos na definição, isso significa que as funções são linearmente dependentes.

Passo 5

Comentário complementar (matéria prática para prova — como reconhecer rápido).
  • Sempre que uma das funções do conjunto pode ser escrita como combinação linear das outras (como aqui \operatorname{cosh} x=\tfrac{1}{2}e^{x}+\tfrac{1}{2}e^{-x}), o conjunto é automaticamente dependente.
  • Em problemas parecidos, procure identidades algébricas ou trigonométricas/hiperbólicas que expressem uma função em termos das outras; isso dá a relação não trivial rapidamente.
  • Para treinar: verifique que o par \{e^{x},e^{-x}\} é linearmente independente. (Rápida justificativa: se \alpha e^{x}+\beta e^{-x}=0 para todo x, multiplicando por e^{x} obtém-se \alpha e^{2x}+\beta=0 para todo x; a única forma disso ocorrer é \alpha=0 e \beta=0.)

Resposta

Linearmente dependente.

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