Seja F o espaço de funções reais de números reais onde a soma é definida como \left(f_{1}+f_{2}\right)(x)= f_{1}(x)+f_{2}(x) e a multiplicação por escalar como \left(a \cdot f_{1}\right)(x)=a \cdot f_{1}(x). Determine se cada um dos seguintes subconjuntos de F é linearmente dependente ou linearmente independente. \left\{1, e^{a x}, e^{b x}\right\}, a \neq b;
Passo 1
O enunciado dá o conjunto de funções
\{\,1,\;e^{ax},\;e^{bx}\,\},
com a\neq b, no espaço F de funções reais. A pergunta é: esse subconjunto é linearmente dependente ou linearmente independente?
Informações relevantes:
As funções são mapeamentos \mathbb{R}\to\mathbb{R}.
Os escalares são números reais.
Está garantido que a\neq b, mas a ou b podem ser iguais a 0 (não foi proibido).
Passo 2
Definição prática que vamos usar (muito importante para a prova):
Um conjunto de funções \{f_1,f_2,f_3\} é linearmente dependente se existem escalares, nem todos nulos, \lambda_1,\lambda_2,\lambda_3 tais que
Podemos ver isso como um sistema homogêneo matricial (M(x)\cdot (c_1,c_2,c_3)^T = 0] com M(x)= \begin{pmatrix} 1 & e^{ax} & e^{bx}\\[4pt] 0 & a e^{ax} & b e^{bx}\\[4pt] 0 & a^2 e^{ax} & b^2 e^{bx} \end{pmatrix}.
Se \det M(x)\neq 0 para algum (ou para todo) x, então o sistema só admite a solução trivial c_1=c_2=c_3=0, o que provê independência linear.]
Passo 4
Cálculo do determinante \det M(x). Expandindo pela primeira coluna obtemos:
\det M(x) = 1\cdot\det\begin{pmatrix} a e^{ax} & b e^{bx} \\[4pt] a^2 e^{ax} & b^2 e^{bx} \end{pmatrix}.
Calculando esse 2\times2:
\det M(x)= a e^{ax}\cdot b^2 e^{bx} - b e^{bx}\cdot a^2 e^{ax}.
Fatorando e^{ax}e^{bx}=e^{(a+b)x} e ab obtemos
\det M(x)=ab(b-a)\,e^{(a+b)x}.
Observações importantes sobre esse resultado:
e^{(a+b)x} nunca é zero para qualquer x.
Logo, o sinal de \det M(x) depende apenas de ab(b-a).
Como o enunciado já dá a\neq b, temos b-a\neq 0. Assim \det M(x)=0 ocorre exatamente quando ab=0, ou seja, se e somente se a=0 ou b=0.]
Passo 5
Interpretação e conclusão:
Se a\neq 0 e b\neq 0 (e lembrando que a\neq b), então ab(b-a)\neq 0. Assim \det M(x)\neq 0 e o sistema só tem a solução trivial c_1=c_2=c_3=0. Portanto as funções são linearmente independentes.
Se a=0 (com b\neq 0 já que a\neq b), então e^{ax}=e^{0x}=1. Nesse caso o conjunto contém duas vezes a mesma função 1, logo é linearmente dependente (por exemplo, -1\cdot 1 + 1\cdot e^{0x} + 0\cdot e^{bx}=0 dá uma combinação não trivial nula).
Analogamente, se b=0 então o conjunto também é linearmente dependente.
Resposta
Linearmente independente se a\neq 0 e b\neq 0 (com a\neq b).
Linearmente dependente se a=0 ou b=0 (porque então e^{0x}=1, há repetição da função constante).