- Seja
uma função contínua no intervalo
e derivável no intervalo
. Se
, mostre que existe
, tal que
.
(Observação: O resultado acima é conhecido como TEOREMA DE ROLLE)
(Observação: O resultado acima é conhecido como TEOREMA DE ROLLE)
Passo 1
O enunciado é o Teorema de Rolle: temos uma função
contínua em
, derivável em
e com
. Queremos mostrar que existe algum
tal que
Para provar isso, vamos usar dois resultados clássicos de Análise: o Teorema do Valor Extremo (Weierstrass) e o Teorema de Fermat sobre pontos críticos de extremos locais.
Passo 2
Primeiro, veja que se
for constante em
, digamos
para todo
, então em qualquer ponto interior
temos
porque a derivada de uma função constante é zero. Nesse caso já cumprimos a conclusão do teorema.
Passo 3
Agora, suponha que
não seja constante em
. Pela continuidade em
e pelo Teorema de Weierstrass,
atinge seu valor máximo e seu valor mínimo em pontos de
. Como
e
não é constante, pelo menos um desses extremos estritos ocorre num ponto interior
.
Passo 4
Se
é ponto de máximo ou de mínimo estrito de
em
e
está em
, então
tem um extremo local em
. Pelo Teorema de Fermat, toda função diferenciável que atinge extremo local num ponto interior satisfaz
Resposta
Mostramos que, sendo
constante ou não, sempre existe
tal que
o que é exatamente o enunciado do Teorema de Rolle.