1. Seja f uma função contínua no intervalo [a, b] e derivável no intervalo ] a, b[. Se f(a)=f(b), mostre que existe c in] a, b[, tal que f^prime(c)=0.
    (Observação: O resultado acima é conhecido como TEOREMA DE ROLLE)

Passo 1

O enunciado é o Teorema de Rolle: temos uma função f contínua em [a,b], derivável em ,]a,b[ e com f(a)=f(b). Queremos mostrar que existe algum cin]a,b[ tal que
f'(c)=0
Para provar isso, vamos usar dois resultados clássicos de Análise: o Teorema do Valor Extremo (Weierstrass) e o Teorema de Fermat sobre pontos críticos de extremos locais.

Passo 2

Primeiro, veja que se f for constante em [a,b], digamos f(x)=K para todo x, então em qualquer ponto interior c temos
f'(c)=0
porque a derivada de uma função constante é zero. Nesse caso já cumprimos a conclusão do teorema.

Passo 3

Agora, suponha que f não seja constante em [a,b]. Pela continuidade em [a,b] e pelo Teorema de Weierstrass, f atinge seu valor máximo e seu valor mínimo em pontos de [a,b]. Como f(a)=f(b) e f não é constante, pelo menos um desses extremos estritos ocorre num ponto interior cin]a,b[.

Passo 4

Se c é ponto de máximo ou de mínimo estrito de f em [a,b] e c está em ]a,b[, então f tem um extremo local em c. Pelo Teorema de Fermat, toda função diferenciável que atinge extremo local num ponto interior satisfaz
f'(c)=0

Resposta

Mostramos que, sendo f constante ou não, sempre existe cin]a,b[ tal que
f'(c)=0,
o que é exatamente o enunciado do Teorema de Rolle.

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