Seja f uma função contínua no intervalo [a, b] e tal que integrala^b f(x) d x=0. Explique, utilizando o Teorema do Valor Médio para Integrais, porque podemos afirmar, com certeza, que f tem, pelo menos, uma raiz em [a, b].

Passo 1

Então, a gente tem uma função $ f $ que é contínua no intervalo f e a integral dela de $ a $ até $ b $ é zero, ou seja, [a, b]. A gente vai usar o Teorema do Valor Médio para Integrais para mostrar que essa função $ f $ tem pelo menos uma raiz nesse intervalo. Básico, né? Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que diz o Teorema do Valor Médio para Integrais. Ele basicamente afirma que se $ f $ é contínua no intervalo f , então existe pelo menos um ponto $ c $ em [a, b] onde a função $ f $ atinge o valor médio dela no intervalo. Matemáticamente, isso é escrito como:
c
É como dizer que a área sob a curva é igual ao valor da função em algum ponto específico vezes o comprimento do intervalo.

Passo 3

Agora, sabemos que integrala^b f(x) dx = 0. Vamos substituir isso na equação do Teorema do Valor Médio:
0 = f(c) cdot (b - a)
Sabemos que $ b - a $ é a largura do intervalo e, como estamos considerando um intervalo com $ a < b $, $ b - a $ é sempre um número positivo e diferente de zero.

Passo 4

Com a equação $ 0 = f© \cdot (b - a) $ e sabendo que $ b - a \neq 0 $, a única maneira de essa igualdade ser verdadeira é se $ f© = 0 $. Ou seja, a função $ f $ deve ser igual a zero em pelo menos um ponto $ c $ dentro do intervalo 0 = f(c) cdot (b - a) .

Resposta

Portanto, usando o Teorema do Valor Médio para Integrais, concluímos que a função $ f $ tem pelo menos uma raiz no intervalo f .

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