Seja
uma função contínua no intervalo
e tal que
. Explique, utilizando o Teorema do Valor Médio para Integrais, porque podemos afirmar, com certeza, que
tem, pelo menos, uma raiz em
.
Passo 1
Então, a gente tem uma função $ f $ que é contínua no intervalo
e a integral dela de $ a $ até $ b $ é zero, ou seja,
. A gente vai usar o Teorema do Valor Médio para Integrais para mostrar que essa função $ f $ tem pelo menos uma raiz nesse intervalo. Básico, né? Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que diz o Teorema do Valor Médio para Integrais. Ele basicamente afirma que se $ f $ é contínua no intervalo
, então existe pelo menos um ponto $ c $ em
onde a função $ f $ atinge o valor médio dela no intervalo. Matemáticamente, isso é escrito como:
É como dizer que a área sob a curva é igual ao valor da função em algum ponto específico vezes o comprimento do intervalo.
Passo 3
Agora, sabemos que
. Vamos substituir isso na equação do Teorema do Valor Médio:
Sabemos que $ b - a $ é a largura do intervalo e, como estamos considerando um intervalo com $ a < b $, $ b - a $ é sempre um número positivo e diferente de zero.
Passo 4
Com a equação $ 0 = f© \cdot (b - a) $ e sabendo que $ b - a \neq 0 $, a única maneira de essa igualdade ser verdadeira é se $ f© = 0 $. Ou seja, a função $ f $ deve ser igual a zero em pelo menos um ponto $ c $ dentro do intervalo
.
Resposta
Portanto, usando o Teorema do Valor Médio para Integrais, concluímos que a função $ f $ tem pelo menos uma raiz no intervalo
.