Seja f uma função contínua em um intervalo I. Se f^prime(x)=0 para todo x, mostre que f é uma função constante em I. Mostre um exemplo de função f não constante tal que f^prime(x)=0 para todo x in dom(f).

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, se f é contínua em um intervalo I e f'(x)=0 para todo xin I, então f é constante em I. Vamos usar o Teorema do Valor Médio, que é o resultado clássico para ligar derivada e variação de uma função em um intervalo.

Passo 2

Pelo Teorema do Valor Médio, para quaisquer a,bin I com a<b existem cin(a,b) tais que
f'(c) ;=;f(b)-f(a)b-a
Como por hipótese f'(c)=0, segue
0 = f(b)-f(a)b-a Longrightarrow f(b)-f(a)=0 Longrightarrow f(b)=f(a)
Como a e b eram quaisquer em I, concluímos que f é constante em todo I.

Passo 3

Para dar um exemplo de função não constante cuja derivada é zero em todo o seu domínio, basta escolher um domínio que não seja um intervalo (logo a hipótese do passo anterior falha). Por exemplo, defina
fcolon Rsetminus0;longrightarrow;R, f(x) = 1, & x<0, 2, & x>0
Cada ponto xneq0 tem uma vizinhança em que f é constante, logo
f'(x)=0 para todo xinRsetminus0
Entretanto, f assume valores distintos nos ramos x<0 e x>0, de modo que não é constante em seu domínio.

Resposta

Pela aplicação do Teorema do Valor Médio, qualquer
que satisfaz mas não é constante globalmente.

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