Seja uma função contínua em um intervalo . Se para todo , mostre que é uma função constante em . Mostre um exemplo de função não constante tal que para todo .
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, se é contínua em um intervalo e para todo , então é constante em . Vamos usar o Teorema do Valor Médio, que é o resultado clássico para ligar derivada e variação de uma função em um intervalo.
Passo 2
Pelo Teorema do Valor Médio, para quaisquer com existem tais que
Como por hipótese , segue
Como e eram quaisquer em , concluímos que é constante em todo .
Passo 3
Para dar um exemplo de função não constante cuja derivada é zero em todo o seu domínio, basta escolher um domínio que não seja um intervalo (logo a hipótese do passo anterior falha). Por exemplo, defina
Cada ponto xneq0 tem uma vizinhança em que f é constante, logo
f'(x)=0 para todo xinRsetminus0
Entretanto, f assume valores distintos nos ramos x<0 e x>0, de modo que não é constante em seu domínio.
Resposta
Pela aplicação do Teorema do Valor Médio, qualquer