A que taxa cresce o volume de uma bola de neve esférica, sabendo-se que o raio cresce à razão de 5 cm / s, no instante em que ele mede 10 cm ?

Passo 1

O enunciado pede a taxa de variação do volume V de uma bola de neve esférica cujo raio r cresce à razão de drdt=5 cm/s, no instante em que r=10 cm. O conteúdo é taxas relacionadas e vamos usar derivação implícita (regra da cadeia).

Passo 2

A fórmula do volume de uma esfera em função do raio é
V = 43pi r^3

Passo 3

Derivando ambos os lados em relação ao tempo t, aplicando a regra da cadeia, obtemos
dVdt = ddtl(tfrac43pi r^3r) = 43pi cdot 3r^2 cdot drdt =4pi r^2 drdt

Passo 4

No instante considerado, r=10 cm e drdt=5 cm/s. Substituindo na expressão de dVdt, temos
dVdt =4pi cdot (10)^2 cdot 5 =2000pi

Resposta

dVdt=2000pi cm^3/s

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