Sendo w=f(y-xx y, z-yy z) e f uma função diferenciável, mostre que x^2 partial wpartial x+y^2 partial wpartial y+z^2 partial wpartial z=0.

Passo 1

O enunciado define
w = f!l(y - xx,y,;z - yy,zr)
e pede para mostrar que
x^2,partial wpartial x ;+; y^2,partial wpartial y ;+; z^2,partial wpartial z ;=; 0
O conteúdo aqui é o uso da regra da cadeia para funções de várias variáveis: vamos escrever w=f(u,v) com u e v em termos de x,y,z, calcular partial w/partial x, partial w/partial y, partial w/partial z e depois combinar esses resultados.

Passo 2

Definimos
u = y - xx,y, v = z - yy,z
Note que podemos simplificar essas frações:
u = yx,y - xx,y = 1x - 1y, v = zy,z - yy,z = 1y - 1z

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais de u e v em relação a x,y,z:
partial upartial x = -1x^2, partial upartial y = 1y^2, partial upartial z = 0,
partial vpartial x = 0, partial vpartial y = -1y^2, partial vpartial z = 1z^2

Passo 4

Pela regra da cadeia, se w=f(u,v) e denotamos fu=partial f/partial u, fv=partial f/partial v, então
partial wpartial x = fu,partial upartial x + fv,partial vpartial x = ful(-1x^2r) + fvcdot 0 = -fux^2,
partial wpartial y = fu,partial upartial y + fv,partial vpartial y = ful(1y^2r) + fvl(-1y^2r) = fu - fvy^2,
partial wpartial z = fucdot 0 + fv,partial vpartial z = fvz^2

Passo 5

Multiplicamos cada derivada pelo quadrado da respectiva variável e somamos:
x^2,partial wpartial x = x^2l(-fux^2r) = -fu,
y^2,partial wpartial y = y^2l(fu-fvy^2r) = fu - fv,
z^2,partial wpartial z = z^2l(fvz^2r) = fv
Somando:
x^2wx + y^2wy + z^2wz = (-fu) + (fu-fv) + (fv) = 0

Resposta

x^2,partial wpartial x + y^2,partial wpartial y + z^2,partial wpartial z = 0

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