Sendo
e f uma função diferenciável, mostre que
.
Passo 1
O enunciado define
e pede para mostrar que
O conteúdo aqui é o uso da regra da cadeia para funções de várias variáveis: vamos escrever
com
e
em termos de
, calcular
,
,
e depois combinar esses resultados.
Passo 2
Definimos
Note que podemos simplificar essas frações:
Passo 3
Calculamos as derivadas parciais de
e
em relação a
:
Passo 4
Pela regra da cadeia, se
e denotamos
,
, então
Passo 5
Multiplicamos cada derivada pelo quadrado da respectiva variável e somamos:
Somando: