Mostre que a equação
admite pelo menos uma raiz real.
Passo 1
O enunciado pede pra mostrar que a equação
tem pelo menos uma raiz real. O conteúdo aqui é a aplicação do Teorema de Bolzano (ou Teorema do Valor Intermediário) para funções contínuas. Vamos precisar definir uma função associada, verificar sua continuidade e encontrar dois pontos onde ela mude de sinal.
Passo 2
Definimos a função
por
Essa é a diferença de um polinômio (que é contínuo) e de uma função racional cujo denominador
nunca zera (pois
). Logo,
é contínua em toda a reta real.
Passo 3
Para aplicar o Teorema de Bolzano, basta achar
e
tais que
e
tenham sinais opostos. Vamos calcular em dois pontos simples:
Observamos que
e
.
Passo 4
Como
é contínua e muda de sinal entre
e
, o Teorema de Bolzano garante que existe
tal que
. Ou seja, a equação dada tem pelo menos uma raiz real.
Passo 5
Portanto, concluímos que há pelo menos uma solução real da equação
, situada no intervalo
.
Resposta
A existência de uma raiz real em (0,1) segue diretamente do Teorema de Bolzano, pois a função associada é contínua e muda de sinal em 0 e 1.