Mostre que a equação x^3-1x^4+1=0 admite pelo menos uma raiz real.

Passo 1

O enunciado pede pra mostrar que a equação x^3-tfrac1x^4+1=0 tem pelo menos uma raiz real. O conteúdo aqui é a aplicação do Teorema de Bolzano (ou Teorema do Valor Intermediário) para funções contínuas. Vamos precisar definir uma função associada, verificar sua continuidade e encontrar dois pontos onde ela mude de sinal.

Passo 2

Definimos a função f:RtoR por
f(x)=x^3-1x^4+1
Essa é a diferença de um polinômio (que é contínuo) e de uma função racional cujo denominador x^4+1 nunca zera (pois x^4+1>=1). Logo, f(x) é contínua em toda a reta real.

Passo 3

Para aplicar o Teorema de Bolzano, basta achar a e b tais que f(a) e f(b) tenham sinais opostos. Vamos calcular em dois pontos simples:
f(0)=0^3-10^4+1=-1<0,
f(1)=1^3-11^4+1=1-12=12>0
Observamos que f(0)<0 e f(1)>0.

Passo 4

Como f é contínua e muda de sinal entre x=0 e x=1, o Teorema de Bolzano garante que existe cin(0,1) tal que f(c)=0. Ou seja, a equação dada tem pelo menos uma raiz real.

Passo 5

Portanto, concluímos que há pelo menos uma solução real da equação x^3-tfrac1x^4+1=0, situada no intervalo (0,1).

Resposta

A existência de uma raiz real em (0,1) segue diretamente do Teorema de Bolzano, pois a função associada é contínua e muda de sinal em 0 e 1.

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