Seja f uma função dada por f(x)=x^2x-2. Determine:
As assíntotas horizontais ao gráfico de f, caso existam.

Passo 1

Estamos com a função f(x)=dfracx^2x-2. O objetivo é identificar assíntotas horizontais, ou seja, retas da forma y=L que o gráfico se aproxima quando xto+infty ou xto-infty.

Passo 2

Recordando teoria: dizemos que y=L é assíntota horizontal se pelo menos um dos limites limxto+inftyf(x) ou limxto-inftyf(x) existir e for igual a um número real L.

Passo 3

Note que o grau do numerador (2) é maior que o grau do denominador (1). Nesse caso, a tendência de f(x) é crescer (ou decrescer) sem se estabilizar em um valor finito quando x tende a infinito.

Passo 4

Vamos calcular os limites:
Para xto+infty: divide-se numerador e denominador por x:
f(x)=x^2x-2=xcdot xxl(1-2/xr)=x1-2/x
Como 2/xto0, temos f(x)sim xto+infty, logo limxto+inftyf(x)=+infty.
Para xto-infty o mesmo raciocínio dá limxto-inftyf(x)=-infty.

Passo 5

Como nenhum dos limites no infinito é finito, não existe valor L real tal que f(x)to L. Portanto, a função não tem assíntota horizontal.

Resposta

Não existem assíntotas horizontais para a função f(x)=dfracx^2x-2.

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