Considere as funções
e
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Sobre pontos críticos, pontos de máximo e mínimo locais e pontos de sela das funções, é correto afirmar que:
Atenção: mais de um item pode estar correto, assinale os itens corretos e como resposta à questão escreva a soma dos números associados às alternativas corretas. As justificativas precisam ser apresentadas.
(2) A função
não possui ponto crítico.
Atenção: mais de um item pode estar correto, assinale os itens corretos e como resposta à questão escreva a soma dos números associados às alternativas corretas. As justificativas precisam ser apresentadas.
(2) A função
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui são três funções de duas variáveis: $ f(x, y) $, $ g(x, y) $ e $ h(x, y) $. A questão está perguntando sobre pontos críticos, máximos e mínimos locais e pontos de sela dessas funções. Especificamente, queremos verificar se a afirmação (2) está correta, que diz: “A função $ g $ não possui ponto crítico.” Para resolver isso, vamos precisar entender o que são pontos críticos e como encontrá-los usando derivadas parciais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um ponto crítico. Em funções de duas variáveis, um ponto crítico é um ponto
onde as derivadas parciais da função em relação a $ x $ e $ y $ são ambas iguais a zero. Ou seja:
Encontrar pontos críticos nos ajuda a identificar possíveis máximos, mínimos ou pontos de sela na função.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais de $ g(x, y) $ em relação a $ x $ e $ y $.
A função $ g $ é:
Primeiro, a derivada parcial em relação a $ x $:
Em seguida, a derivada parcial em relação a $ y $:
Passo 4
Agora, vamos igualar essas derivadas a zero para encontrar os pontos críticos:
- $ 2x - 4y - 1 = 0 $
- $ -4x + 8y + 3 = 0 $
Vamos resolver esse sistema de equações. Podemos simplificar a segunda equação dividindo por 4:
Ou seja:
Agora, substituímos $ x $ na primeira equação:
Isso não faz sentido, já que $ \frac{1}{2} $ nunca é igual a zero. Portanto, esse sistema não tem solução real.
Passo 5
Como o sistema de equações derivadas não possui solução, isso significa que a função $ g(x, y) $ não possui pontos críticos.
Resposta
A afirmação (2) está correta. A soma dos números associados às alternativas corretas é 2.