Esboce a região delimitada pelas curvas indicadas e encontre sua área. (1,5 cada item)
y=x^3 e x=y

Passo 1

Neste exercício vamos esboçar a região delimitada pelas curvas y = x^3 e x = y (isto é, y = x) e calcular sua área usando integrais definidas.

Passo 2

Para encontrar os limites de integração, igualamos x^3 = x e obtemos x(x^2 - 1) = 0, logo as interseções são em x = -1, 0, 1, correspondendo aos pontos (-1,-1), (0,0), (1,1).

Passo 3

Precisamos saber qual curva está acima em cada intervalo:
Para -1 <= x <= 0, temos x^3 >= x, logo y = x^3 fica acima de y = x.
Para 0 <= x <= 1, temos x^3 <= x, logo y = x fica acima de y = x^3.

Passo 4

A área buscada é a soma das áreas entre as curvas em cada intervalo:
A = integral-1^0 (x^3 - x) , dx + integral0^1 (x - x^3) , dx

Passo 5

Agora calculamos cada integral:
Para a primeira:
integral-1^0 (x^3 - x) , dx = [x^44 - x^22]-1^0 = 0 - l(tfrac14 - tfrac12r) = tfrac14
Para a segunda:
integral0^1 (x - x^3) , dx = [x^22 - x^44]0^1 = tfrac12 - tfrac14 = tfrac14

Passo 6

Somando as contribuições, obtemos
A = tfrac14 + tfrac14 = tfrac12
que é a área da região delimitada pelas curvas.

Resposta

tfrac12

Exercícios relacionados