Se o Wronskiano de
e
é
, e se
, determine
Escolha uma opção:
Nenhuma das demais alternativas
Escolha uma opção:
Nenhuma das demais alternativas
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrarmos a função $ g(t) $, sabendo que o Wronskiano de $ f $ e $ g $ é $ \sin^{2} t + t $, e que $ f(t) = \sin t $. Para resolver isso, vamos precisar usar o conceito de Wronskiano e resolver uma equação diferencial básica.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o Wronskiano. O Wronskiano de duas funções $ f $ e $ g $ é dado por:
No nosso caso, sabemos que:
Passo 3
Vamos calcular a derivada de $ f(t) $:
Agora, substituímos $ f(t) $ e $ f’(t) $ na expressão do Wronskiano:
Passo 4
Nosso objetivo é encontrar $ g(t) $. Para isso, vamos reorganizar a equação para isolar $ g’(t) $:
Dividindo ambos os lados por $ \sin t $:
Essa equação é uma equação diferencial linear de primeira ordem na forma:
Onde:
Passo 5
Para resolver a equação diferencial, precisamos encontrar o fator integrante $ \mu(t) $:
Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante:
Simplificando:
Passo 6
Agora, integramos ambos os lados em relação a $ t $:
Primeiro, integramos $ 1 $:
Para a segunda parte, $ \int \frac{t}{\sin^2 t} dt $, usamos a técnica de integração por partes, onde:
Aplicando integração por partes:
Passo 7
Substituindo de volta na equação:
Multiplicando ambos os lados por $ \sin t $ para isolar $ g(t) $:
Resposta
Nenhuma das demais alternativas