Se o Wronskiano de f e g é sen^2 t+t, e se f(t)=sen t, determine g(t)
Escolha uma opção:
Nenhuma das demais alternativas
t cos t+C sen t
sen t+C t
t sen t+C sen t
t sen t+C cos t
t sen t+C t

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrarmos a função $ g(t) $, sabendo que o Wronskiano de $ f $ e $ g $ é $ \sin^{2} t + t $, e que $ f(t) = \sin t $. Para resolver isso, vamos precisar usar o conceito de Wronskiano e resolver uma equação diferencial básica.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Wronskiano. O Wronskiano de duas funções $ f $ e $ g $ é dado por:
f
No nosso caso, sabemos que:
g

Passo 3

Vamos calcular a derivada de $ f(t) $:
f(t)
Agora, substituímos $ f(t) $ e $ f’(t) $ na expressão do Wronskiano:
f'(t) = cos t

Passo 4

Nosso objetivo é encontrar $ g(t) $. Para isso, vamos reorganizar a equação para isolar $ g’(t) $:
g(t)
Dividindo ambos os lados por $ \sin t $:
g'(t)
Essa equação é uma equação diferencial linear de primeira ordem na forma:
sin t cdot g'(t) = sin^2 t + t + cos t cdot g(t)
Onde:
sin t

Passo 5

Para resolver a equação diferencial, precisamos encontrar o fator integrante $ \mu(t) $:
mu(t)
Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante:
mu(t) = e^integral P(t) dt = e^integral -cot t , dt = e^-ln|sin t| = 1sin t
Simplificando:
1sin tg'(t) - cot t cdot 1sin tg(t) = sin tsin t + tsin^2 t

Passo 6

Agora, integramos ambos os lados em relação a $ t $:
t
Primeiro, integramos $ 1 $:
g(t)sin t = integral (1 + tsin^2 t) dt + C
Para a segunda parte, $ \int \frac{t}{\sin^2 t} dt $, usamos a técnica de integração por partes, onde:
1
integral 1 , dt = t
Aplicando integração por partes:
integral tsin^2 t dt

Passo 7

Substituindo de volta na equação:
g(t)sin t = t - t cot t + ln|sin t| + C
Multiplicando ambos os lados por $ \sin t $ para isolar $ g(t) $:
sin t

Resposta

Nenhuma das demais alternativas

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