Seja f uma função dada por f(x)=x^2x^2-4. Determine:
(3 pontos) Os intervalos onde f é côncava para cima e côncava para baixo. Sabendo que f^prime prime(x)=8(3 x^2+4)(x^2-4)^3.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente descobrir em quais intervalos a função $ f(x) = \frac{x{2}}{x{2}-4} $ é côncava para cima e para baixo. Isso entra no assunto de cálculo, especificamente no estudo da concavidade das funções usando a segunda derivada.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que significa uma função ser côncava para cima ou para baixo. Se a segunda derivada de uma função $ f’’(x) $ for positiva em algum intervalo, então a função é côncava para cima nesse intervalo. Se for negativa, é côncava para baixo.

Passo 3

A segunda derivada da função já foi dada:
f''(x) = 8(3x^2+4)(x^2-4)^3
Vamos analisar os sinais do numerador e do denominador para determinar onde $ f’’(x) $ é positiva ou negativa.
  • Numerador $ 8(3x^{2}+4) $: Sempre positivo, porque $ 3x^{2} + 4 $ é maior que zero para qualquer valor de $ x $.
  • Denominador $ (x{2}-4){3} $: O sinal depende de $ x^{2}-4 $:
    • Se $ x < -2 $ ou $ x > 2 $, $ x^{2}-4 > 0 $, então o denominador é positivo.
    • Se $ -2 < x < 2 $, $ x^{2}-4 < 0 $, então o denominador é negativo.

Passo 4

Agora, juntando as informações:
  • Para $ x < -2 $ e $ x > 2 $: O denominador é positivo e o numerador também, então $ f’’(x) > 0 $. Portanto, a função é côncava para cima nesses intervalos.
  • Para $ -2 < x < 2 $: O denominador é negativo enquanto o numerador é positivo, então $ f’’(x) < 0 $. Assim, a função é côncava para baixo nesse intervalo.

Resposta

A função $ f $ é côncava para cima nos intervalos $ (-\infty, -2) $ e $ (2, \infty) $, e côncava para baixo no intervalo $ (-2, 2) $.

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