Seja
uma função dada por
. Determine:
(3 pontos) Os intervalos onde
é côncava para cima e côncava para baixo. Sabendo que
.
(3 pontos) Os intervalos onde
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente descobrir em quais intervalos a função $ f(x) = \frac{x{2}}{x{2}-4} $ é côncava para cima e para baixo. Isso entra no assunto de cálculo, especificamente no estudo da concavidade das funções usando a segunda derivada.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender o que significa uma função ser côncava para cima ou para baixo. Se a segunda derivada de uma função $ f’’(x) $ for positiva em algum intervalo, então a função é côncava para cima nesse intervalo. Se for negativa, é côncava para baixo.
Passo 3
A segunda derivada da função já foi dada:
Vamos analisar os sinais do numerador e do denominador para determinar onde $ f’’(x) $ é positiva ou negativa.
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Numerador $ 8(3x^{2}+4) $: Sempre positivo, porque $ 3x^{2} + 4 $ é maior que zero para qualquer valor de $ x $.
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Denominador $ (x{2}-4){3} $: O sinal depende de $ x^{2}-4 $:
- Se $ x < -2 $ ou $ x > 2 $, $ x^{2}-4 > 0 $, então o denominador é positivo.
- Se $ -2 < x < 2 $, $ x^{2}-4 < 0 $, então o denominador é negativo.
Passo 4
Agora, juntando as informações:
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Para $ x < -2 $ e $ x > 2 $: O denominador é positivo e o numerador também, então $ f’’(x) > 0 $. Portanto, a função é côncava para cima nesses intervalos.
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Para $ -2 < x < 2 $: O denominador é negativo enquanto o numerador é positivo, então $ f’’(x) < 0 $. Assim, a função é côncava para baixo nesse intervalo.
Resposta
A função $ f $ é côncava para cima nos intervalos $ (-\infty, -2) $ e $ (2, \infty) $, e côncava para baixo no intervalo $ (-2, 2) $.