Seja f uma função dada por f(x)=x^2x-2. Determine:
Os pontos de inflexão do gráfico de f. caso existam.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os pontos de inflexão da função f(x)=x^2x-2. O conteúdo é cálculo diferencial, especificamente precisamos da segunda derivada f''(x) e analisar onde ela muda de sinal.

Passo 2

Para calcular a primeira derivada, usamos a regra do quociente: numerador u(x)=x^2 e denominador v(x)=x-2. Assim,
f'(x)=u'(x)v(x)-u(x)v'(x)[v(x)]^2= (2x)(x-2)-x^2cdot1(x-2)^2= 2x^2-4x-x^2(x-2)^2= x^2-4x(x-2)^2=x(x-4)(x-2)^2

Passo 3

Para obter a segunda derivada, derivamos f'(x)=x(x-4)(x-2)^-2 usando regra do produto e cadeia. O resultado simplificado é
f''(x)=8(x-2)^3

Passo 4

Agora analisamos o sinal de f''(x): como o numerador é positivo (8) e o denominador (x-2)^3 é negativo para x<2 e positivo para x>2, a concavidade muda de côncava para convexa ao atravessar x=2. Mas x=2 não pertence ao domínio de f (há assíntota vertical). Não há nenhum x no domínio onde f''(x)=0. Portanto, não existe ponto de inflexão.

Passo 5

Como não há valor de x no domínio em que f''(x)=0 ou em que ocorra mudança de concavidade dentro do domínio, concluímos que não há pontos de inflexão.

Resposta

A função f(x)=x^2x-2 não possui pontos de inflexão no seu domínio.

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