5^{\underline{\mathbf{a}}} Questão: ( 40 pontos) Seja f uma função dada por f(x)=\frac{x}{x^{2}-1}. Determine:
a) ( \mathbf{2} pontos) O domínio de f.
b) ( 5 pontos) Mostre que f^{\prime}(x)=\frac{-x^{2}-1}{\left(x^{2}-1\right)^{2}}.
c) ( 5 pontos) Os intervalos onde f é crescente e onde f é decrescente.
d) ( \mathbf{5} pontos) Os pontos críticos de f, caso existam.
e) (5 pontos) Sabendo que f^{\prime \prime}(x)=\frac{2 x\left(x^{2}+3\right)}{\left(x^{2}-1\right)^{3}}. Os intervalos onde f é côncava para cima e côncava para baixo.
f) ( \mathbf{4} pontos) Os pontos de inflexão do gráfico de f.
g) ( 3 pontos) As assíntotas horizontais ao gráfico de f, caso existam.
h) ( 3 pontos) As assíntotas verticais ao gráfico de f, caso existam.
i) ( 8 pontos) Fazer um esboço do gráfico de f.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado pede e o que nos é dado (tudo que vamos usar depois).
  • A função dada é f(x)=\dfrac{x}{x^{2}-1}.
  • Perguntas:
    a) Determinar o domínio de f.
    b) Mostrar que f'(x)=\dfrac{-x^{2}-1}{\left(x^{2}-1\right)^{2}}.
    c) Determinar os intervalos onde f é crescente e decrescente.
    d) Encontrar os pontos críticos de f, se existirem.
    e) Usando f''(x)=\dfrac{2x\left(x^{2}+3\right)}{\left(x^{2}-1\right)^{3}}, determinar os intervalos de concavidade para cima e para baixo.
    f) Determinar os pontos de inflexão do gráfico de f.
    g) Determinar as assíntotas horizontais (se existirem).
    h) Determinar as assíntotas verticais (se existirem).
    i) Fazer um esboço do gráfico de f.
  • Observações úteis que já temos ou serão usadas:
    • Para o domínio: devemos excluir valores que tornam o denominador zero.
    • Para derivadas: usaremos a regra do quociente \left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^{2}}.
    • Para monotonicidade: sinal de f' em cada intervalo do domínio.
    • Para concavidade: sinal de f'' em cada intervalo do domínio.
    • Para assíntotas horizontais: limites quando x\to\pm\infty.
    • Para assíntotas verticais: pontos onde denominador é zero e os limites laterais tendem a \pm\infty.

Passo 2

Domínio de f.
  • O denominador é x^{2}-1. Esse denominador é zero quando x^{2}-1=0\Rightarrow x=\pm1.
  • A função está definida para todos os x reais exceto onde o denominador é zero.
  • Portanto o domínio é
(-\infty,-1)\cup(-1,1)\cup(1,\infty).

Passo 3

Prova de que f'(x)=\dfrac{-x^{2}-1}{\left(x^{2}-1\right)^{2}} (regra do quociente, passo a passo).
  • Escrevo u(x)=x e v(x)=x^{2}-1. Então u'(x)=1 e v'(x)=2x.
  • Pela regra do quociente:
f'(x)=\frac{u'v-uv'}{v^{2}}=\frac{1\cdot\left(x^{2}-1\right)-x\cdot(2x)}{\left(x^{2}-1\right)^{2}}.
  • Simplifico o numerador:
1\cdot\left(x^{2}-1\right)-2x^{2}=x^{2}-1-2x^{2}=-x^{2}-1.
  • Logo
f'(x)=\frac{-x^{2}-1}{\left(x^{2}-1\right)^{2}},
o que era para mostrar.

Passo 4

Intervalos de crescimento/decrescimento (análise do sinal de f').
  • Observação sobre o numerador e denominador de f':
    • Numerador: -x^{2}-1=-(x^{2}+1). Como x^{2}+1>0 para todo x\in\mathbb{R}, o numerador é sempre negativo (estritamente menor que zero) para todo x.
    • Denominador: \left(x^{2}-1\right)^{2} é sempre positivo para todo x onde está definido (exceto nos pontos onde é zero, x=\pm1, que não pertencem ao domínio). Portanto o denominador é sempre positivo nos pontos do domínio.
  • Como numerador < 0 e denominador > 0 em todo ponto do domínio, f'(x)<0 em cada intervalo do domínio.
  • Logo f é decrescente em cada componente do domínio e não há intervalos onde seja crescente.
  • Escrevendo explicitamente:
f\text{ é decrescente em }(-\infty,-1),\;(-1,1),\;(1,\infty).é
f\text{ não é crescente em nenhum desses intervalos.}ãé

Passo 5

Pontos críticos de f.
  • Definição prática: pontos críticos interiores do domínio são pontos onde f'(x)=0 ou f'(x) não existe (mas pertence ao domínio).
  • Primeiro, procurar f'(x)=0:
\frac{-x^{2}-1}{\left(x^{2}-1\right)^{2}}=0
equivale a -x^{2}-1=0\Rightarrow x^{2}+1=0, que não tem solução real. Portanto não há zeros de f' no domínio.
  • Segundo, pontos onde f' não existe: f' não existe quando denominador \left(x^{2}-1\right)^{2}=0, isto é x=\pm1; porém esses pontos não pertencem ao domínio de f. Portanto NÃO são pontos críticos no sentido de pontos da função (são assíntotas verticais).
  • Conclusão: não existem pontos críticos de f no domínio (nenhum máximo ou mínimo local interior).

Passo 6

Intervalos de concavidade (usando f''(x)=\dfrac{2x\left(x^{2}+3\right)}{\left(x^{2}-1\right)^{3}}).
  • Primeiro analisar o sinal do numerador e do denominador separadamente:
    • Numerador: 2x\left(x^{2}+3\right). Como x^{2}+3>0 para todo x, o sinal do numerador é o sinal de 2x, ou seja, positivo se x>0, negativo se x<0, e zero em x=0.
    • Denominador: \left(x^{2}-1\right)^{3}. O sinal de \left(x^{2}-1\right)^{3} é o mesmo que o sinal de x^{2}-1 (porque o cubo preserva o sinal). Então:
      • Se |x|>1 então x^{2}-1>0\Rightarrow denominador positivo.
      • Se |x|<1 então x^{2}-1<0\Rightarrow denominador negativo.
  • Combino sinais por intervalos do domínio:
    1. x>1: numerador >0, denominador >0 \Rightarrow f''(x)>0 (côncava para cima).
    2. 0<x<1: numerador >0, denominador <0 \Rightarrow f''(x)<0 (côncava para baixo).
    3. -1<x<0: numerador <0, denominador <0 \Rightarrow f''(x)>0 (côncava para cima).
    4. x<-1: numerador <0, denominador >0 \Rightarrow f''(x)<0 (côncava para baixo).
  • Portanto:
\text{Côncava para cima em }(-1,0)\cup(1,\infty).ô
\text{Côncava para baixo em }(-\infty,-1)\cup(0,1).ô

Passo 7

Pontos de inflexão.
  • Pontos de inflexão são pontos do domínio onde a concavidade muda (ou seja, f'' muda de sinal). Normalmente aparecem em zeros de f'' que pertencem ao domínio ou em pontos onde f'' não existe porém há mudança de concavidade.
  • Zeros de f'': resolver 2x(x^{2}+3)=0\Rightarrow x=0 (as outras raízes são complexas). O ponto x=0 pertence ao domínio.
  • Verificação de mudança de concavidade em x=0: à esquerda de 0 (no intervalo (-1,0)) temos concavidade para cima; à direita de 0 (no intervalo (0,1)) temos concavidade para baixo. Há mudança de concavidade, logo x=0 é ponto de inflexão.
  • Coordenada y correspondente: f(0)=\dfrac{0}{0-1}=0.
  • Conclusão: existe um ponto de inflexão em (0,0).

Passo 8

Assíntotas horizontais.
  • Calculo \displaystyle\lim_{x\to\infty}f(x) e \displaystyle\lim_{x\to -\infty}f(x).
  • Uma maneira rápida: dividir numerador e denominador por x:
f(x)=\frac{x}{x^{2}-1}=\frac{1}{x}\cdot\frac{1}{1-\dfrac{1}{x^{2}}}=\frac{1/x}{1-1/x^{2}}.
  • Quando x\to\pm\infty temos 1/x\to0 e 1-1/x^{2}\to1. Logo
\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=0.
  • Portanto existe uma assíntota horizontal dada por y=0.

Passo 9

Assíntotas verticais e comportamento lateral.
  • As assíntotas verticais aparecem onde o denominador zera: x=\pm1.
  • Verificação dos limites laterais (para descrever o comportamento):
    • Em x\to1^{-}: tome x=1-\varepsilon com \varepsilon>0 pequeno. Então x^{2}-1\approx -2\varepsilon<0 e x\approx1>0. Assim f(x)\to -\infty.
    • Em x\to1^{+}: x^{2}-1\approx +2\varepsilon>0 e x\approx1>0. Assim f(x)\to +\infty.
    • Em x\to-1^{-}: (isto é, x<-1 aproximando de -1) tem-se x\approx -1 (negativo) e x^{2}-1>0, então f(x)\to -\infty.
    • Em x\to-1^{+}: (isto é, x>-1 aproximando de -1) tem-se x\approx -1 (negativo) e x^{2}-1<0, então f(x)\to +\infty.
  • Conclusão: há assíntotas verticais nas retas x=1 e x=-1 (com os comportamentos laterais acima).

Passo 10

Esboço do gráfico — instruções detalhadas para desenhar e características principais (para fazer à mão, sem calculadora).
  • Resumo das características que facilitam o esboço:
    • Domínio: (-\infty,-1), (-1,1), (1,\infty).
    • Assíntotas verticais: x=-1 e x=1.
    • Assíntota horizontal: y=0.
    • Paridade: f é ímpar porque f(-x)=-f(x). Logo o gráfico é simétrico em relação à origem.
    • Monotonicidade: f é decrescente em cada componente do domínio (não há máximos/minimos locais).
    • Concavidade: côncava para baixo em (-\infty,-1) e (0,1); côncava para cima em (-1,0) e (1,\infty).
    • Ponto de inflexão: (0,0).
    • Alguns pontos para posicionar:
      • f(0)=0.
      • f(2)=\dfrac{2}{4-1}=\dfrac{2}{3}\approx0{,}667.
      • f(-2)=-\dfrac{2}{3}.
      • f\left(\tfrac{1}{2}\right)=\dfrac{1/2}{1/4-1}=\dfrac{1/2}{-3/4}=-\dfrac{2}{3}.
    • Comportamento próximo das assíntotas:
      • Aproximando x\to1^{-} o gráfico desce para -\infty; ao passar por 1^{+} vem de +\infty e desce para a assíntota horizontal y=0 quando x\to\infty.
      • Simetricamente para x=-1 com sinais trocados (devido à ímparidade).
  • Como desenhar (passo a passo a lápis):
    1. Desenhe as retas tracejadas x=-1, x=1 (verticais) e y=0 (horizontal) como guias de assíntota.
    2. No intervalo (1,\infty): comece acima de +\infty em x=1^{+}, desça continuamente (função decrescente), côncava para cima, passando por (2,\tfrac{2}{3}) e se aproximando de y=0^{+} quando x\to\infty.
    3. No intervalo (0,1): a partir de +\infty em x=0^{+} o gráfico vem de + (na verdade em 0^{+} o valor é f(0^{+})=0, mas imediatamente à direita a concavidade é para baixo) — mais concreto: em (0,1) a curva é negativa (ver f(1/2)=-2/3), decrescente e côncava para baixo, e vai para -\infty quando x\to1^{-}.
    4. Use a ímparidade para traçar a parte x<0 espelhando a parte x>0 através da origem.
    5. Marque o ponto de inflexão (0,0).
  • Esses passos produzem um esboço coerente com todas as propriedades listadas.

Resposta

a) (-\infty,-1)\cup(-1,1)\cup(1,\infty)
b) f'(x)=\dfrac{-x^{2}-1}{\left(x^{2}-1\right)^{2}}
c) f é decrescente em (-\infty,-1), em (-1,1) e em (1,\infty). Não é crescente em nenhum intervalo do domínio.
d) Não existem pontos críticos no domínio (não há x no domínio com f'(x)=0).
e) f é côncava para cima em (-1,0)\cup(1,\infty) e côncava para baixo em (-\infty,-1)\cup(0,1).
f) Ponto de inflexão: (0,0).
g) Assíntota horizontal: y=0.
h) Assíntotas verticais: x=-1 e x=1.
i) Esboço: gráfico com assíntotas verticais em x=\pm1, assíntota horizontal y=0, decrescente em cada componente do domínio, simétrico ímpar, ponto de inflexão em (0,0) — ver instruções de desenho no Passo 10.

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