Encontre o conjunto solução de cada uma das seguintes inequações:
|x-2| \geq|4 x+1|

Passo 1

O enunciado pede: encontrar o conjunto solução da inequação
|x-2| \geq |4x+1|.
Informações relevantes que o enunciado dá:
  • Temos uma inequação envolvendo valores absolutos de duas expressões lineares: |x-2| e |4x+1|.
  • As expressões cujos sinais importam são x-2 e 4x+1.
  • Pontos onde cada expressão pode mudar de sinal são as raízes x=2 (de x-2) e x=-\tfrac{1}{4} (de 4x+1).
  • A solução será um subconjunto dos números reais \mathbb{R}.

Passo 2

Breve aula sobre valor absoluto e estratégia: |A|\) é sempre não negativo e é definido por \[|A| = \begin{cases} A, & \text{se } A\ge 0,\\[4pt] - A, & \text{se } A<0. \end{cases}
Portanto, para resolver |x-2|\ge |4x+1|\] é natural dividir a reta real em intervalos determinados pelas raízes das expressões dentro dos módulos, porque em cada intervalo os sinais de \(x-2 e 4x+1 são conhecidos e podemos remover os módulos substituindo por + ou - conforme o caso. Esses pontos críticos são x=-\tfrac{1}{4} e x=2. Vou usar análise por casos (método básico), que é direto e não exige justificativas extras; outra opção seria elevar ao quadrado (válido porque ambos lados são não negativos), mas a análise por casos é mais elementar e ensina bem o uso de definição do valor absoluto.]

Passo 3

Dividimos a reta em três intervalos usando os pontos críticos:
  1. x<-\tfrac{1}{4},
  2. -\tfrac{1}{4}\le x<2,
  3. x\ge 2.
Em cada intervalo determinamos o sinal de x-2 e de 4x+1:
  • Para x<-\tfrac{1}{4}: temos x-2<0 e 4x+1<0.
  • Para -\tfrac{1}{4}\le x<2: temos x-2<0 e 4x+1\ge 0.
  • Para x\ge 2: temos x-2\ge 0 e 4x+1>0.

Passo 4

Caso 1: x\ge 2.
Aqui x-2\ge 0 e 4x+1>0, então
|x-2| = x-2,\qquad |4x+1| = 4x+1.
A inequação vira
x-2 \ge 4x+1.
Resolvendo passo a passo:
x-2 -4x -1 \ge 0 \implies -3x -3 \ge 0.
Fatorando:
-3(x+1)\ge 0 \implies x+1 \le 0 \implies x \le -1.
Interseção com a condição do caso x\ge 2 dá conjunto vazio (não existe x com x\ge2 e x\le -1). Portanto, nenhum x\ge 2 satisfaz a inequação.

Passo 5

Caso 2: -\tfrac{1}{4}\le x<2.
Aqui x-2<0 e 4x+1\ge 0, então
|x-2| = 2-x,\qquad |4x+1| = 4x+1.
A inequação vira
2-x \ge 4x+1.
Resolvendo:
2 - x - 4x -1 \ge 0 \implies 1 - 5x \ge 0.
Isolando x:
-5x \ge -1 \implies x \le \tfrac{1}{5}.
Agora intersectamos com o intervalo do caso: -\tfrac{1}{4}\le x<2. Portanto as soluções deste caso são
-\tfrac{1}{4} \le x \le \tfrac{1}{5}.
Checagem nas bordas: em x=-\tfrac{1}{4} temos |x-2|=9/4\ge 0=|4x+1| (verdadeiro) e em x=\tfrac{1}{5} as duas expressões são iguais (verdadeiro). Então as desigualdades de fronteira estão corretamente incluídas.

Passo 6

Caso 3: x< -\tfrac{1}{4}.
Aqui x-2<0 e 4x+1<0, então
|x-2| = 2-x,\qquad |4x+1| = -(4x+1)= -4x-1.
A inequação vira
2-x \ge -4x-1.
Resolvendo:
2 - x +4x +1 \ge 0 \implies 3 + 3x \ge 0.
Isolando x:
3x \ge -3 \implies x \ge -1.
Interseção com a condição do caso x< -\tfrac{1}{4}
-1 \le x < -\tfrac{1}{4}.
Verificando bordas: em x=-1 temos |-1-2|=3 e |4(-1)+1|=3 (igualdade, incluir). Em x=-\tfrac{1}{4} já verificamos que pertence à solução do caso anterior; aqui a desigualdade era estrita x<-\tfrac{1}{4}, então neste caso não incluímos -\tfrac{1}{4}, mas a união posterior vai incluir.

Passo 7

Juntando as soluções dos três casos:
  • Caso 1: nada.
  • Caso 2: [-\tfrac{1}{4},\,\tfrac{1}{5}].
  • Caso 3: [-1,\, -\tfrac{1}{4}).
A união é
[-1,\, -\tfrac{1}{4}) \cup [-\tfrac{1}{4},\,\tfrac{1}{5}] = [-1,\,\tfrac{1}{5}].
Ou seja, o conjunto solução é o intervalo fechado de -1 até \tfrac{1}{5}.

Resposta

[-1,\,\tfrac{1}{5}]

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