Encontre o conjunto solução de cada uma das seguintes inequações:
Passo 1
O enunciado pede: encontrar o conjunto solução da inequação
Informações relevantes que o enunciado dá:
- Temos uma inequação envolvendo valores absolutos de duas expressões lineares:
e . - As expressões cujos sinais importam são
e . - Pontos onde cada expressão pode mudar de sinal são as raízes
(de ) e (de ). - A solução será um subconjunto dos números reais
.
Passo 2
Breve aula sobre valor absoluto e estratégia:
Portanto, para resolver
e
são conhecidos e podemos remover os módulos substituindo por
ou
conforme o caso. Esses pontos críticos são
e
. Vou usar análise por casos (método básico), que é direto e não exige justificativas extras; outra opção seria elevar ao quadrado (válido porque ambos lados são não negativos), mas a análise por casos é mais elementar e ensina bem o uso de definição do valor absoluto.]
Passo 3
Dividimos a reta em três intervalos usando os pontos críticos:
-
, -
, -
.
Em cada intervalo determinamos o sinal de
e de
:
- Para
: temos e . - Para
: temos e . - Para
: temos e .
Passo 4
Caso 1:
.
Aqui e
, então
Aqui
A inequação vira
Resolvendo passo a passo:
Fatorando:
Interseção com a condição do caso
dá conjunto vazio (não existe
com
e
). Portanto, nenhum
satisfaz a inequação.
Passo 5
Caso 2:
.
Aqui e
, então
Aqui
A inequação vira
Resolvendo:
Isolando
:
Agora intersectamos com o intervalo do caso:
. Portanto as soluções deste caso são
Checagem nas bordas: em
temos
(verdadeiro) e em
as duas expressões são iguais (verdadeiro). Então as desigualdades de fronteira estão corretamente incluídas.
Passo 6
Caso 3:
.
Aqui e
, então
Aqui
A inequação vira
Resolvendo:
Isolando
:
Interseção com a condição do caso
dá
Verificando bordas: em
temos
e
(igualdade, incluir). Em
já verificamos que pertence à solução do caso anterior; aqui a desigualdade era estrita
, então neste caso não incluímos
, mas a união posterior vai incluir.
Passo 7
Juntando as soluções dos três casos:
- Caso 1: nada.
- Caso 2:
. - Caso 3:
.
A união é
Ou seja, o conjunto solução é o intervalo fechado de
até
.