Seja
uma função definida e contínua num subconjunto limitado e fechado
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Passo 1
O enunciado diz que
e
são funções contínuas em
, onde
é fechado e limitado. Como toda função contínua em conjunto compacto é Riemann‐integrável, tanto
quanto
existem. O que queremos mostrar é a propriedade de linearidade da integral dupla:
Passo 2
Lembramos a definição da integral dupla pelo critério de Riemann: escolhemos uma partição
de
em sub‐regiões
de área
e pontos de amostragem
. O somatório de Riemann para uma função
é
A integral dupla de
em
é o limite destes somatórios quando o diâmetro máximo da partição tende a zero:
Passo 3
Aplicando isso a
, obtemos para cada partição
:
Passo 4
Agora passamos ao limite quando
. Como
e
são integráveis, os limites dos somatórios existem e valem as integrais correspondentes. Logo,