Seja f uma função definida e contínua num subconjunto limitado e fechado D \subset \mathbb{R}^{2}.\n6
\iint_{D}[f(x, y)+g(x, y)] d A=\iint_{D} f(x, y) d A+\iint_{D} g(x, y) d A

Passo 1

O enunciado diz que f e g são funções contínuas em D\subset\mathbb{R}^2, onde D é fechado e limitado. Como toda função contínua em conjunto compacto é Riemann‐integrável, tanto \iint_{D}f quanto \iint_{D}g existem. O que queremos mostrar é a propriedade de linearidade da integral dupla:
\iint_{D}\bigl[f(x,y)+g(x,y)\bigr]\,dA = \iint_{D}f(x,y)\,dA + \iint_{D}g(x,y)\,dA.

Passo 2

Lembramos a definição da integral dupla pelo critério de Riemann: escolhemos uma partição P de D em sub‐regiões D_i de área \Delta A_i e pontos de amostragem (x_i^*,y_i^*)\in D_i. O somatório de Riemann para uma função h é
S(h,P)=\sum_{i}h(x_i^*,y_i^*)\,\Delta A_i.
A integral dupla de h em D é o limite destes somatórios quando o diâmetro máximo da partição tende a zero:
\iint_{D}h(x,y)\,dA = \lim_{\|P\|\to0}S(h,P).

Passo 3

Aplicando isso a h=f+g, obtemos para cada partição P:
S(f+g,P) =\sum_{i}\bigl[f(x_i^*,y_i^*)+g(x_i^*,y_i^*)\bigr]\Delta A_i =\sum_{i}f(x_i^*,y_i^*)\Delta A_i +\sum_{i}g(x_i^*,y_i^*)\Delta A_i =S(f,P)+S(g,P).

Passo 4

Agora passamos ao limite quando \|P\|\to0. Como f e g são integráveis, os limites dos somatórios existem e valem as integrais correspondentes. Logo,
\iint_{D}(f+g) =\lim_{\|P\|\to0}S(f+g,P) =\lim_{\|P\|\to0}\bigl[S(f,P)+S(g,P)\bigr] =\lim_{\|P\|\to0}S(f,P) +\lim_{\|P\|\to0}S(g,P) =\iint_{D}f+\iint_{D}g.

Resposta

\iint_{D}\bigl[f(x,y)+g(x,y)\bigr]\,dA = \iint_{D}f(x,y)\,dA + \iint_{D}g(x,y)\,dA.

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