\int_{0}^{1} \int_{0}^{v} \sqrt{1-v^{2}} d u d v

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral iterada
\int_{0}^{1}\int_{0}^{v}\sqrt{1-v^{2}}\;du\;dv.
O conteúdo envolvido é integração de uma função em coordenadas retangulares, usando a propriedade de que se a integranda independe de uma variável, podemos simplificar a integral interna.

Passo 2

Vamos primeiro calcular a integral interna em u. Como \sqrt{1-v^{2}} não depende de u, temos
\int_{0}^{v}\sqrt{1-v^{2}}\;du =\sqrt{1-v^{2}}\int_{0}^{v}du =\sqrt{1-v^{2}}\;\bigl[u\bigr]_{0}^{v} =v\,\sqrt{1-v^{2}}.

Passo 3

Substituindo na integral externa, o problema reduz-se a
\int_{0}^{1}v\,\sqrt{1-v^{2}}\;dv.
Agora basta resolver essa integral de uma única variável.

Passo 4

Fazemos a substituição clássica para integrar v\sqrt{1-v^{2}}:
t = 1 - v^{2} \quad\Longrightarrow\quad dt = -2v\,dv \quad\Longrightarrow\quad v\,dv = -\tfrac12\,dt.
Quando v=0, t=1; quando v=1, t=0. Assim,
\int_{0}^{1}v\,\sqrt{1-v^{2}}\;dv =\int_{t=1}^{t=0}\sqrt{t}\;\bigl(-\tfrac12\,dt\bigr) =-\tfrac12\int_{1}^{0}t^{1/2}dt =\tfrac12\int_{0}^{1}t^{1/2}dt.

Passo 5

Calculando a integral em t:
\tfrac12\int_{0}^{1}t^{1/2}dt =\tfrac12\cdot\Bigl[\tfrac{t^{3/2}}{3/2}\Bigr]_{0}^{1} =\tfrac12\cdot\tfrac{2}{3}\bigl(1^{3/2}-0\bigr) =\tfrac{1}{3}.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{3}

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