Seja f uma função definida e contínua num subconjunto limitado e fechado D \subset \mathbb{R}^{2}.\n7
\iint_{D} c f(x, y) d A=c \iint_{D} f(x, y) d A

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, se f é contínua (logo integrável) num conjunto fechado e limitado D\subset\mathbb{R}^2 e c é constante real, então
\iint_{D}c\,f(x,y)\,dA \;=\; c\;\iint_{D}f(x,y)\,dA.
O conteúdo é a propriedade de linearidade em relação a fator constante da integral dupla, usando a definição por somas de Riemann.

Passo 2

Pela definição de integral dupla de Riemann, para cada partição P de D em sub-regiões D_i com área \Delta A_i e ponto de amostragem (x_i^*,y_i^*), a soma de Riemann de f é
S(P,f)=\sum_i f(x_i^*,y_i^*)\,\Delta A_i,
e a soma de Riemann de c\,f é
S(P,c\,f)=\sum_i\bigl(c\,f(x_i^*,y_i^*)\bigr)\,\Delta A_i.

Passo 3

Como c é constante, em cada termo da soma pode-se fatorar c:
S(P,c\,f) =\sum_i c\,f(x_i^*,y_i^*)\,\Delta A_i = c\sum_i f(x_i^*,y_i^*)\,\Delta A_i = c\,S(P,f).
Isso implica que, para toda partição P, as somas superiores e inferiores satisfazem
U(P,c\,f)=c\,U(P,f), \quad L(P,c\,f)=c\,L(P,f),
se c>0; e, se c<0, inverte-se o papel de supremo e ínfimo, mas chega-se ao mesmo resultado final de que os extremos da integral de c\,f são c vezes os de f.

Passo 4

Pela definição da integral dupla como limite das somas superiores ou inferiores (que coincidem para funções integráveis), conclui-se
\iint_{D}c\,f(x,y)\,dA =\inf_{P}U(P,c\,f) =c\,\inf_{P}U(P,f) =c\iint_{D}f(x,y)\,dA.

Resposta

\iint_{D}c\,f(x,y)\,dA = c\iint_{D}f(x,y)\,dA.

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