Seja
uma função definida e contínua num subconjunto limitado e fechado
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Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, se
é contínua (logo integrável) num conjunto fechado e limitado
e
é constante real, então
O conteúdo é a propriedade de linearidade em relação a fator constante da integral dupla, usando a definição por somas de Riemann.
Passo 2
Pela definição de integral dupla de Riemann, para cada partição
de
em sub-regiões
com área
e ponto de amostragem
, a soma de Riemann de
é
e a soma de Riemann de
é
Passo 3
Como
é constante, em cada termo da soma pode-se fatorar
:
Isso implica que, para toda partição
, as somas superiores e inferiores satisfazem
se
; e, se
, inverte-se o papel de supremo e ínfimo, mas chega-se ao mesmo resultado final de que os extremos da integral de
são
vezes os de
.
Passo 4
Pela definição da integral dupla como limite das somas superiores ou inferiores (que coincidem para funções integráveis), conclui-se