Seja f uma função definida e contínua num subconjunto limitado e fechado D \subset \mathbb{R}^{2}.\nSe m \leqslant f(x, y) \leqslant M para todo (x, y) em D, então
m A(D) \leqslant \iint_{D} f(x, y) d A \leqslant M A(D)'

Passo 1

O enunciado diz que f é contínua em um conjunto compacto D\subset\mathbb{R}^2, logo f é integrável em D. Além disso existe m e M tais que
m \le f(x,y)\le M \quad\forall\,(x,y)\in D.
Queremos mostrar que
m\,A(D)\;\le\;\iint_{D}f(x,y)\,dA\;\le\;M\,A(D),
onde A(D) é a área de D. Para isso usaremos o princípio de monotonicidade da integral.

Passo 2

Como m é um número constante e f(x,y)\ge m em todo o domínio, podemos comparar \iint_D f com \iint_D m. Pela monotonicidade da integral bidimensional,
f(x,y)\ge m \implies \iint_{D}f(x,y)\,dA \;\ge\; \iint_{D}m\,dA.

Passo 3

Calculamos a integral de m sobre D. Como m é constante,
\iint_{D}m\,dA = m \iint_{D}1\,dA = m\,A(D).
Logo obtemos a primeira desigualdade:
\iint_{D}f(x,y)\,dA \;\ge\; m\,A(D).

Passo 4

De modo análogo, como f(x,y)\le M em D, pela monotonicidade
\iint_{D}f(x,y)\,dA \;\le\; \iint_{D}M\,dA = M\,A(D).

Resposta

m\,A(D)\;\le\;\iint_{D}f(x,y)\,dA\;\le\;M\,A(D).

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