Seja
uma função definida e contínua num subconjunto limitado e fechado
.\nSe
para todo
em
, então
Passo 1
O enunciado diz que
é contínua em um conjunto compacto
, logo
é integrável em
. Além disso existe
e
tais que
Queremos mostrar que
onde
é a área de
. Para isso usaremos o princípio de monotonicidade da integral.
Passo 2
Como
é um número constante e
em todo o domínio, podemos comparar
com
. Pela monotonicidade da integral bidimensional,
Passo 3
Calculamos a integral de
sobre
. Como
é constante,
Logo obtemos a primeira desigualdade:
Passo 4
De modo análogo, como
em
, pela monotonicidade