Seja
a função definida por
Calcule (se existir)
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma função chamada $ f(x) $ que muda a sua fórmula dependendo de $ x $. Nosso objetivo aqui é calcular as derivadas dessa função nos pontos $ x = 0 $, $ x = 2 $ e $ x = 1 $. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente sobre derivadas de funções definidas por partes.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular $ f’(0) $.
Como $ 0 < 1 $, usamos a primeira parte da função:
Para encontrar a derivada dessa expressão, derivamos termo a termo:
Agora, substituímos $ x = 0 $ na derivada:
Passo 3
Agora, vamos para $ f’(2) $.
Como $ 2 \geq 1 $, usamos a segunda parte da função:
A derivada dessa expressão é bem direto:
Então, para qualquer $ x \geq 1 $, a derivada é 6. Logo:
Passo 4
Por último, vamos calcular $ f’(1) $.
Aqui a gente precisa ter cuidado porque $ x = 1 $ é o ponto onde a definição da função muda. Para garantir que a derivada existe nesse ponto, as derivadas pelas duas partes devem ser iguais.
Primeiro, calculamos a derivada pela esquerda ($ x < 1 $):
Depois, pela direita ($ x \geq 1 $):
Como $ f’(1^-) = f’(1^+) = 6 $, a derivada existe e é igual a 6.