Seja f a função definida por
f(x)=ccc x^2+4 x+3, & se & x<1 6 x-1, & se & x >= 1
Calcule (se existir) f^prime(0), f^prime(2) e f^prime(1).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função chamada $ f(x) $ que muda a sua fórmula dependendo de $ x $. Nosso objetivo aqui é calcular as derivadas dessa função nos pontos $ x = 0 $, $ x = 2 $ e $ x = 1 $. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente sobre derivadas de funções definidas por partes.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular $ f’(0) $.
Como $ 0 < 1 $, usamos a primeira parte da função:
f'(0)
Para encontrar a derivada dessa expressão, derivamos termo a termo:
0 < 1
Agora, substituímos $ x = 0 $ na derivada:
f(x) = x^2 + 4x + 3

Passo 3

Agora, vamos para $ f’(2) $.
Como $ 2 \geq 1 $, usamos a segunda parte da função:
f'(2)
A derivada dessa expressão é bem direto:
2 >= 1
Então, para qualquer $ x \geq 1 $, a derivada é 6. Logo:
f(x) = 6x - 1

Passo 4

Por último, vamos calcular $ f’(1) $.
Aqui a gente precisa ter cuidado porque $ x = 1 $ é o ponto onde a definição da função muda. Para garantir que a derivada existe nesse ponto, as derivadas pelas duas partes devem ser iguais.
Primeiro, calculamos a derivada pela esquerda ($ x < 1 $):
f'(1)
Depois, pela direita ($ x \geq 1 $):
x = 1
Como $ f’(1^-) = f’(1^+) = 6 $, a derivada existe e é igual a 6.

Resposta

f'(0) = 4, f'(2) = 6, e f'(1) = 6

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