Calcule os volumes dos sólidos conforme descritos a seguir.
Sólido limitado acima pelo paraboloide z=x^2+y^2, lateralmente pelo cilindro circular x^2+(y-1)^2=1 e abaixo pelo plano xy.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para calcular o volume de um sólido que é limitado de cima por um paraboloide $ z = x^{2} + y^{2} $, pelos lados por um cilindro circular $ x^{2} + (y - 1)^{2} = 1 $ e de baixo pelo plano $ xy $. Para resolver isso, vamos precisar usar cálculo integral, especificamente integrais duplas, que nos permitem calcular volumes de regiões no espaço.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor as superfícies que delimitam o sólido. O paraboloide $ z = x^{2} + y^{2} $ é uma superfície curva que se abre para cima. O cilindro $ x^{2} + (y - 1)^{2} = 1 $ é um cilindro circular de raio 1, centrado no eixo $ y = 1 $. O plano $ xy $ é simplesmente o plano onde $ z = 0 $.

Passo 3

Para encontrar o volume, precisamos determinar a região de integração no plano $ xy $. Essa região é a interseção entre o cilindro $ x^{2} + (y - 1)^{2} = 1 $ e o plano $ z = 0 $. Vamos desenhar essa circunferência no plano $ xy $ para visualizar melhor.

Passo 4

A equação do cilindro $ x^{2} + (y - 1)^{2} = 1 $ representa um círculo de raio 1 com centro no ponto $ (0, 1) $. Para facilitar a integração, podemos mudar para coordenadas polares, mas primeiro vamos ajustar o sistema de coordenadas para que o centro do círculo esteja na origem.

Passo 5

Vamos fazer uma mudança de variável: deixe $ y’ = y - 1 $. Assim, a equação do círculo fica $ x^{2} + y’^{2} = 1 $, que é um círculo de raio 1 centrado na origem $ (0, 0) $ no novo sistema de coordenadas $ (x, y’) $.

Passo 6

Agora, em coordenadas polares, podemos substituir $ x = r \cos \theta $ e $ y’ = r \sin \theta $. A integral para o volume será:
x = r cos theta
Lembre-se que $ z = x^{2} + y^{2} $ e a altura do sólido em cada ponto é essa função.

Passo 7

Vamos expressar $ y $ em termos de $ y’ $: $ y = y’ + 1 = r \sin \theta + 1 $. Substituindo na expressão de $ z $:
y
Simplificando:
y'

Passo 8

A integral para o volume fica então:
V = integral0^2pi integral0^1 (r^2 + 2r sin theta + 1) , r , dr , dtheta
Vamos multiplicar os termos:
V = integral0^2pi integral0^1 (r^3 + 2r^2 sin theta + r) , dr , dtheta

Passo 9

Agora, vamos integrar em relação a $ r $:
r
Simplificando:
integral0^1 (r^3 + 2r^2 sin theta + r) , dr = [ r^44 + 2 r^33 sin theta + r^22 ]0^1 = 14 + 23 sin theta + 12

Passo 10

Agora, integramos em relação a $ \theta $:
theta

Resposta

O volume do sólido é $ \frac{3}{2} \pi $ unidades cúbicas.

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