Calcule os volumes dos sólidos conforme descritos a seguir.
Sólido limitado acima pelo paraboloide
, lateralmente pelo cilindro circular
e abaixo pelo plano
.
Sólido limitado acima pelo paraboloide
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para calcular o volume de um sólido que é limitado de cima por um paraboloide $ z = x^{2} + y^{2} $, pelos lados por um cilindro circular $ x^{2} + (y - 1)^{2} = 1 $ e de baixo pelo plano $ xy $. Para resolver isso, vamos precisar usar cálculo integral, especificamente integrais duplas, que nos permitem calcular volumes de regiões no espaço.
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor as superfícies que delimitam o sólido. O paraboloide $ z = x^{2} + y^{2} $ é uma superfície curva que se abre para cima. O cilindro $ x^{2} + (y - 1)^{2} = 1 $ é um cilindro circular de raio 1, centrado no eixo $ y = 1 $. O plano $ xy $ é simplesmente o plano onde $ z = 0 $.
Passo 3
Para encontrar o volume, precisamos determinar a região de integração no plano $ xy $. Essa região é a interseção entre o cilindro $ x^{2} + (y - 1)^{2} = 1 $ e o plano $ z = 0 $. Vamos desenhar essa circunferência no plano $ xy $ para visualizar melhor.
Passo 4
A equação do cilindro $ x^{2} + (y - 1)^{2} = 1 $ representa um círculo de raio 1 com centro no ponto $ (0, 1) $. Para facilitar a integração, podemos mudar para coordenadas polares, mas primeiro vamos ajustar o sistema de coordenadas para que o centro do círculo esteja na origem.
Passo 5
Vamos fazer uma mudança de variável: deixe $ y’ = y - 1 $. Assim, a equação do círculo fica $ x^{2} + y’^{2} = 1 $, que é um círculo de raio 1 centrado na origem $ (0, 0) $ no novo sistema de coordenadas $ (x, y’) $.
Passo 6
Agora, em coordenadas polares, podemos substituir $ x = r \cos \theta $ e $ y’ = r \sin \theta $. A integral para o volume será:
Lembre-se que $ z = x^{2} + y^{2} $ e a altura do sólido em cada ponto é essa função.
Passo 7
Vamos expressar $ y $ em termos de $ y’ $: $ y = y’ + 1 = r \sin \theta + 1 $. Substituindo na expressão de $ z $:
Simplificando:
Passo 8
A integral para o volume fica então:
Vamos multiplicar os termos:
Passo 9
Agora, vamos integrar em relação a $ r $:
Simplificando:
Passo 10
Agora, integramos em relação a $ \theta $:
Resposta
O volume do sólido é $ \frac{3}{2} \pi $ unidades cúbicas.