Considere a curva
.
Obtenha as componentes tangencial e normal do vetor aceleração.
Obtenha as componentes tangencial e normal do vetor aceleração.
Passo 1
Beleza! A gente vai resolver a questão que pede para encontrar as componentes tangencial e normal do vetor aceleração da curva dada por
para
. Isso envolve um pouco de cálculo vetorial, especificamente derivadas de vetores e decomposição de vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar que a aceleração é a segunda derivada da posição em relação ao tempo. Então, precisamos derivar
duas vezes para encontrar o vetor aceleração
.
Passo 3
Vamos calcular a primeira derivada de
, que é a velocidade
:
Passo 4
Agora, vamos derivar
para encontrar a aceleração
:
Passo 5
Para encontrar as componentes tangencial e normal da aceleração, precisamos do vetor unitário tangente
, que é a velocidade normalizada:
Vamos calcular a norma de
:
Então:
Passo 6
A componente tangencial da aceleração é dada por:
Vamos calcular o produto escalar:
Passo 7
A componente normal da aceleração é obtida usando a fórmula:
Primeiro, calculamos a norma de
:
Então:
Resposta
A componente tangencial da aceleração é
e a componente normal é
.