Considere a curva alpha(t)=(3 sen t, 1-5 cos t,-4 sen t) ; t >= 0.
Obtenha as componentes tangencial e normal do vetor aceleração.

Passo 1

Beleza! A gente vai resolver a questão que pede para encontrar as componentes tangencial e normal do vetor aceleração da curva dada por alpha(t) = (3 sin t, 1 - 5 cos t, -4 sin t) para t >= 0. Isso envolve um pouco de cálculo vetorial, especificamente derivadas de vetores e decomposição de vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar que a aceleração é a segunda derivada da posição em relação ao tempo. Então, precisamos derivar alpha(t) duas vezes para encontrar o vetor aceleração a(t).

Passo 3

Vamos calcular a primeira derivada de alpha(t), que é a velocidade v(t):
v(t) = alpha'(t) = (3 cos t, 5 sin t, -4 cos t)

Passo 4

Agora, vamos derivar v(t) para encontrar a aceleração a(t):
a(t) = v'(t) = (-3 sin t, 5 cos t, 4 sin t)

Passo 5

Para encontrar as componentes tangencial e normal da aceleração, precisamos do vetor unitário tangente T(t), que é a velocidade normalizada:
T(t) = v(t)|v(t)|
Vamos calcular a norma de v(t):
|v(t)| = raiz(3 cos t)^2 + (5 sin t)^2 + (-4 cos t)^2 = raiz9 cos^2 t + 25 sin^2 t + 16 cos^2 t = raiz25 sin^2 t + 25 cos^2 t = raiz25 (sin^2 t + cos^2 t) = raiz25 = 5
Então:
T(t) = 15(3 cos t, 5 sin t, -4 cos t)

Passo 6

A componente tangencial da aceleração é dada por:
aT = a(t) cdot T(t)
Vamos calcular o produto escalar:
aT = (-3 sin t, 5 cos t, 4 sin t) cdot 15(3 cos t, 5 sin t, -4 cos t) = 15 (-9 sin t cos t + 25 cos t sin t - 16 sin t cos t) = 15(0) = 0

Passo 7

A componente normal da aceleração é obtida usando a fórmula:
aN = raiz|a(t)|^2 - aT^2
Primeiro, calculamos a norma de a(t):
|a(t)| = raiz(-3 sin t)^2 + (5 cos t)^2 + (4 sin t)^2 = raiz9 sin^2 t + 25 cos^2 t + 16 sin^2 t = raiz25 sin^2 t + 25 cos^2 t = raiz25 = 5
Então:
aN = raiz5^2 - 0^2 = raiz25 = 5

Resposta

A componente tangencial da aceleração é 0 e a componente normal é 5.

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