A soma das soluções reais da equação
é
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
Passo 1
O enunciado dá a equação
e pede a soma das soluções reais dessa equação.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado: aparece, logo a variável
deve satisfazer
(pois logaritmo natural só está definido para números positivos). As alternativas de resposta são opções (a) a (e).
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
Passo 2
Transformação/substituição para simplificar a equação — por que e como: como aparece
em forma polinomial, é natural fazer a substituição
onde
é uma nova variável real. Explico: com essa substituição a equação em
vira uma equação polinomial simples em
, que é mais fácil de resolver. Note que essa substituição só é válida porque
toma valores reais quando
, então
é real.
Passo 3
Escrever a equação em
e resolvê-la: substituindo
em
obtemos a quadrática
Agora resolvemos essa equação quadrática. Podemos tentar fatorar: procuramos dois números cuja soma seja
e cujo produto seja
. Esses números são
e
. Portanto a fatoração é
Assim as raízes em
são obtidas por igualar cada fator a zero:
Comentário didático: para resolver quadráticas simples tente sempre ver se fatoram com inteiros pequenos; se não fatorarem, use a fórmula quadrática
para
.
Passo 4
Voltar para a variável
: como fizemos
, temos
. Substituindo as soluções em
encontramos as soluções em
:
Verificação de domínio: ambas as soluções
e
são positivas (
), portanto são válidas para a equação original (não violam
).
Passo 5
Calcular a soma das soluções
: somamos as duas soluções encontradas:
Fatorando
para apresentar numa forma mais elegante:
Portanto a soma das soluções é
. Isso corresponde à alternativa (d).
Resposta
(d)