A soma das soluções reais da equação (\ln x)^{2}-3(\ln x)+2=0 é
(a) e
(b) e(1-e)
(c) e(e-1)
(d) e(e+1)
(e) -e(e+1)

Passo 1

O enunciado dá a equação (\ln x)^{2}-3(\ln x)+2=0 e pede a soma das soluções reais dessa equação.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado: \ln x aparece, logo a variável x deve satisfazer \,x>0 (pois logaritmo natural só está definido para números positivos). As alternativas de resposta são opções (a) a (e).

Passo 2

Transformação/substituição para simplificar a equação — por que e como: como aparece \ln x em forma polinomial, é natural fazer a substituição
y=\ln x,
onde y é uma nova variável real. Explico: com essa substituição a equação em x vira uma equação polinomial simples em y, que é mais fácil de resolver. Note que essa substituição só é válida porque \ln x toma valores reais quando \,x>0, então y é real.

Passo 3

Escrever a equação em y e resolvê-la: substituindo y=\ln x em
(\ln x)^{2}-3(\ln x)+2=0
obtemos a quadrática
y^{2}-3y+2=0.
Agora resolvemos essa equação quadrática. Podemos tentar fatorar: procuramos dois números cuja soma seja -3 e cujo produto seja 2. Esses números são -1 e -2. Portanto a fatoração é
y^{2}-3y+2=(y-1)(y-2).
Assim as raízes em y são obtidas por igualar cada fator a zero:
y-1=0 \quad\Rightarrow\quad y=1,
y-2=0 \quad\Rightarrow\quad y=2.
Comentário didático: para resolver quadráticas simples tente sempre ver se fatoram com inteiros pequenos; se não fatorarem, use a fórmula quadrática \displaystyle y=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} para ay^{2}+by+c=0.

Passo 4

Voltar para a variável x: como fizemos y=\ln x, temos x=e^{y}. Substituindo as soluções em y encontramos as soluções em x:
y=1 \Rightarrow x=e^{1}=e,
y=2 \Rightarrow x=e^{2}.
Verificação de domínio: ambas as soluções x=e e x=e^{2} são positivas ( e>0), portanto são válidas para a equação original (não violam \,x>0).

Passo 5

Calcular a soma das soluções x: somamos as duas soluções encontradas:
x_{1}+x_{2}=e+e^{2}.
Fatorando e para apresentar numa forma mais elegante:
e+e^{2}=e(1+e)=e(e+1).
Portanto a soma das soluções é e(e+1). Isso corresponde à alternativa (d).

Resposta

(d) e(e+1)

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