Seja f a função definida para x>0 e y>0 e dada por f(x, y)=x y. Considere o triângulo \mathcal{T} de vértices A=(2,1), B=(4,1) e C=(2,3).
Determine, se houver, o valor máximo de f \operatorname{em} \mathcal{T} eo(s) ponto(s) em que o valor máximo ocorre.

Passo 1

O enunciado dá:
\;f:\{(x,y)\mid x>0,\;y>0\}\to\mathbb{R} definida por \;f(x,y)=xy.
O triângulo \mathcal{T} tem vértices A=(2,1), B=(4,1) e C=(2,3).
A pergunta é: determine, se houver, o valor máximo de f em \mathcal{T} e o(s) ponto(s) onde esse valor máximo ocorre.

Passo 2

Primeira observação importante (teórica e prática): a função \;f(x,y)=xy é contínua em todo o domínio \{x>0,y>0\}. O triângulo \mathcal{T} (entendido como o triângulo fechado com esses vértices) é um conjunto limitado e fechado, logo compacto. Pelo Teorema de Weierstrass, uma função contínua em um conjunto compacto atinge máximo e mínimo. Portanto existe valor máximo de f em \mathcal{T}.

Passo 3

Estratégia prática (como fazer na prova): procurar pontos críticos no interior e, depois, verificar as três arestas (contornos) do triângulo; também conferir os vértices. Começo pelo interior.
Para pontos interiores, usamos o gradiente. O gradiente de f é o vetor das derivadas parciais:
\nabla f(x,y)=\left(\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y}\right)=(y,x).
Pontos críticos interiores ocorrem onde \nabla f(x,y)= (0,0), ou seja y=0 e x=0. Mas esses pontos têm x=0 ou y=0, e não pertencem ao interior de \mathcal{T} (nem ao domínio dado, pois x>0,y>0). Conclusão: não há pontos críticos no interior do triângulo.

Passo 4

Logo, o máximo deve ocorrer na fronteira de \mathcal{T}. A fronteira tem três segmentos: AB, BC e CA. Vou analisar cada segmento separadamente.
Segmento AB: liga A=(2,1) a B=(4,1). Nesse segmento temos y=1 e x\in[2,4]. Reduzimos f a uma função de uma variável:
g_{AB}(x)=f(x,1)=x\cdot 1 = x,\qquad x\in[2,4].
Essa função é crescente em x, portanto o máximo em AB ocorre em x=4, ou seja no vértice B, e vale f(B)=4.

Passo 5

Segmento AC: liga A=(2,1) a C=(2,3). Ai temos x=2 e y\in[1,3]. Reduzimos:
g_{AC}(y)=f(2,y)=2y,\qquad y\in[1,3].
Essa função é crescente em y, então o máximo em AC ocorre em y=3, ou seja no vértice C, com valor f\text{(C)}=2\cdot 3=6.

Passo 6

Segmento BC: liga B=(4,1) a C=(2,3). Observação prática: ambos os pontos satisfazem x+y=5, portanto no segmento BC vale a equação da reta
x+y=5,
com x\in[2,4] e y=5-x. Substituindo em f obtemos uma função de x só:
g_{BC}(x)=f(x,5-x)=x(5-x)=5x-x^{2},\qquad x\in[2,4].
Para encontrar o máximo dessa função, podemos usar derivada (ou completar quadrado). Derivando:
g'_{BC}(x)=5-2x.
Zerando a derivada dá 5-2x=0\Rightarrow x=\tfrac{5}{2}=2{,}5, que pertence ao intervalo [2,4]. Então há um ponto crítico interno ao segmento. Avaliando:
y=5-x=\tfrac{5}{2},\qquad f\bigl(\tfrac{5}{2},\tfrac{5}{2}\bigr)=\tfrac{5}{2}\cdot\tfrac{5}{2}=\tfrac{25}{4}=6{,}25.
Também convém checar as extremidades do segmento: em x=2 (ponto C) obtemos f=6; em x=4 (ponto B) obtemos f=4. Logo o máximo em BC é \tfrac{25}{4} e ocorre em \bigl(\tfrac{5}{2},\tfrac{5}{2}\bigr).

Passo 7

Agora comparamos os máximos encontrados em cada arco da fronteira e nos vértices:
f(A)=2,\qquad f(B)=4,\qquad f\text{(C)}=6,\qquad \max_{BC} f=\tfrac{25}{4}=6{,}25.
O maior valor entre estes é \tfrac{25}{4}, obtido em \bigl(\tfrac{5}{2},\tfrac{5}{2}\bigr). Não há pontos interiores com valor maior (já verificamos que não há pontos críticos interiores). Portanto o máximo global sobre \mathcal{T} é \tfrac{25}{4} e ocorre exatamente no ponto do segmento BC com coordenadas \left(\tfrac{5}{2},\tfrac{5}{2}\right).

Resposta

\displaystyle \max_{(x,y)\in\mathcal{T}} f(x,y)=\dfrac{25}{4}
\displaystyle \text{ocorre em }(x,y)=\left(\dfrac{5}{2},\dfrac{5}{2}\right)

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