Seja
a função definida para
e
e dada por
. Considere o triângulo
de vértices
e
.
Determine, se houver, o valor máximo de
eo(s) ponto(s) em que o valor máximo ocorre.
Determine, se houver, o valor máximo de
Passo 1
O enunciado dá:
definida por
.
O triângulo tem vértices
,
e
.
A pergunta é: determine, se houver, o valor máximo de em
e o(s) ponto(s) onde esse valor máximo ocorre.
O triângulo
A pergunta é: determine, se houver, o valor máximo de
Passo 2
Primeira observação importante (teórica e prática): a função
é contínua em todo o domínio
. O triângulo
(entendido como o triângulo fechado com esses vértices) é um conjunto limitado e fechado, logo compacto. Pelo Teorema de Weierstrass, uma função contínua em um conjunto compacto atinge máximo e mínimo. Portanto existe valor máximo de
em
.
Passo 3
Estratégia prática (como fazer na prova): procurar pontos críticos no interior e, depois, verificar as três arestas (contornos) do triângulo; também conferir os vértices. Começo pelo interior.
Para pontos interiores, usamos o gradiente. O gradiente de
é o vetor das derivadas parciais:
Pontos críticos interiores ocorrem onde
, ou seja
e
. Mas esses pontos têm
ou
, e não pertencem ao interior de
(nem ao domínio dado, pois
). Conclusão: não há pontos críticos no interior do triângulo.
Passo 4
Logo, o máximo deve ocorrer na fronteira de
. A fronteira tem três segmentos:
,
e
. Vou analisar cada segmento separadamente.
Segmento
: liga
a
. Nesse segmento temos
e
. Reduzimos
a uma função de uma variável:
Essa função é crescente em
, portanto o máximo em
ocorre em
, ou seja no vértice
, e vale
.
Passo 5
Segmento
: liga
a
. Ai temos
e
. Reduzimos:
Essa função é crescente em
, então o máximo em
ocorre em
, ou seja no vértice
, com valor
.
Passo 6
Segmento
: liga
a
. Observação prática: ambos os pontos satisfazem
, portanto no segmento
vale a equação da reta
com
e
. Substituindo em
obtemos uma função de
só:
Para encontrar o máximo dessa função, podemos usar derivada (ou completar quadrado). Derivando:
Zerando a derivada dá
, que pertence ao intervalo
. Então há um ponto crítico interno ao segmento. Avaliando:
Também convém checar as extremidades do segmento: em
(ponto
) obtemos
; em
(ponto
) obtemos
. Logo o máximo em
é
e ocorre em
.
Passo 7
Agora comparamos os máximos encontrados em cada arco da fronteira e nos vértices:
O maior valor entre estes é
, obtido em
. Não há pontos interiores com valor maior (já verificamos que não há pontos críticos interiores). Portanto o máximo global sobre
é
e ocorre exatamente no ponto do segmento
com coordenadas
.