Seja
uma função de duas variáveis dada por:
. Encontre:
A imagem de
.
A imagem de
Passo 1
O exercício dá a função de duas variáveis
com domínio
. Precisamos encontrar a imagem de
, isto é, todos os valores reais
para os quais existe algum
tal que
.
Passo 2
Para isso, tomamos um valor genérico
e impomos
Fazendo a multiplicação cruzada e agrupando termos, obtemos
Passo 3
Se
e
, podemos isolar
em função de
:
Passo 4
Precisamos ainda checar as duas experiências limítrofes:
- Se
, a equação inicial dá que leva a . Basta escolher para manter , mostrando que também está na imagem. - Se
, a equação dá que implica . Então qualquer vale para garantir , mostrando que também está na imagem.
Passo 5
Como para todo
encontramos
com
, concluímos que a imagem de
é todo o conjunto dos números reais.