Seja f uma função de duas variáveis dada por: f(x, y)=(x+y)(x-y). Encontre:
A imagem de f.

Passo 1

O exercício dá a função de duas variáveis f(x,y)=x+yx-y com domínio (x,y)inR^2:xneq y. Precisamos encontrar a imagem de f, isto é, todos os valores reais r para os quais existe algum (x,y) tal que f(x,y)=r.

Passo 2

Para isso, tomamos um valor genérico rinR e impomos
x+yx-y=r
Fazendo a multiplicação cruzada e agrupando termos, obtemos
x+y=r(x-y)Longrightarrow (1-r)x+(1+r)y=0

Passo 3

Se rneq1 e rneq-1, podemos isolar y em função de x:
y=xr-1r+1Escolhendo qualquer xneq0, esse y satisfaz xneq y (pois (r-1)/(r+1)=1 levaria a -1=1, impossível). Logo, para todo rneqpm1 existe um par (x,y) no domínio com f(x,y)=r.

Passo 4

Precisamos ainda checar as duas experiências limítrofes:
  • Se r=1, a equação inicial dá x+y=x-y que leva a y=0. Basta escolher xneq0 para manter xneq y, mostrando que r=1 também está na imagem.
  • Se r=-1, a equação dá x+y=-x+y que implica x=0. Então qualquer yneq0 vale para garantir xneq y, mostrando que r=-1 também está na imagem.

Passo 5

Como para todo rinR encontramos (x,y) com f(x,y)=r, concluímos que a imagem de f é todo o conjunto dos números reais.

Resposta

R

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