Use a fórmula
para determinar a área delimitada pelas curvas abaixo:
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para usar a fórmula $ A = \frac{1}{2} \oint_{C} x , dy - y , dx $ para encontrar a área delimitada pela curva
. Aqui, estamos lidando com cálculo integral aplicado à geometria, especificamente usando integrais de linha para calcular áreas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender qual é a curva que estamos analisando. A equação
representa um círculo com raio 1 e centro no ponto
. Isso significa que o círculo está deslocado 1 unidade para a direita no eixo x.
Passo 3
Para usar a fórmula dada, precisamos expressar
e
em termos de um parâmetro que percorra todo o contorno da curva. Uma boa escolha para um círculo é usar a parametrização trigonométrica. Vamos definir:
onde
varia de
a
para completar uma volta no círculo.
Passo 4
Agora, vamos calcular as derivadas
e
em relação a
:
Passo 5
Substituímos
,
,
e
na fórmula da área:
Passo 6
Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Lembrando que
, então:
Passo 7
Substituindo de volta na integral:
Agora, vamos integrar termo a termo.
Passo 8
Integrando:
Portanto:
Resposta
A área delimitada pela curva
é
unidades quadradas.