Use a fórmula
A=12 ointC x d y-y d x
para determinar a área delimitada pelas curvas abaixo:
(x-1)^2+y^2=1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para usar a fórmula $ A = \frac{1}{2} \oint_{C} x , dy - y , dx $ para encontrar a área delimitada pela curva A = 12 ointC x , dy - y , dx . Aqui, estamos lidando com cálculo integral aplicado à geometria, especificamente usando integrais de linha para calcular áreas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender qual é a curva que estamos analisando. A equação (x-1)^2 + y^2 = 1 representa um círculo com raio 1 e centro no ponto (1, 0). Isso significa que o círculo está deslocado 1 unidade para a direita no eixo x.

Passo 3

Para usar a fórmula dada, precisamos expressar x e y em termos de um parâmetro que percorra todo o contorno da curva. Uma boa escolha para um círculo é usar a parametrização trigonométrica. Vamos definir:
x = 1 + cos theta
y = sin theta
onde theta varia de 0 a 2pi para completar uma volta no círculo.

Passo 4

Agora, vamos calcular as derivadas dx e dy em relação a theta:
dx = -sin theta , dtheta
dy = cos theta , dtheta

Passo 5

Substituímos x, y, dx e dy na fórmula da área:
A = 12 ointC x , dy - y , dx = 12 integral0^2pi ( (1 + cos theta)(cos theta , dtheta) - sin theta (-sin theta , dtheta) )

Passo 6

Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
(1 + cos theta)(cos theta) - sin theta (-sin theta) = cos theta + cos^2 theta + sin^2 theta
Lembrando que cos^2 theta + sin^2 theta = 1, então:
cos theta + 1

Passo 7

Substituindo de volta na integral:
A = 12 integral0^2pi (1 + cos theta) , dtheta
Agora, vamos integrar termo a termo.

Passo 8

Integrando:
integral0^2pi 1 , dtheta = 2pi
integral0^2pi cos theta , dtheta = 0
Portanto:
A = 12 (2pi + 0) = pi

Resposta

A área delimitada pela curva (x-1)^2 + y^2 = 1 é pi unidades quadradas.

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