Seja f a função de \mathbb{R} em \mathbb{R} definida por f(x)=\left\{\begin{array}{ll}1, & x \in \mathbb{Q} \\\ x+1, & x \notin \mathbb{Q}\end{array}\right.. Determine:
f(\sqrt{3})

Passo 1

O enunciado define a função f\colon \mathbb{R}\to\mathbb{R}\) por partes: \[f(x)= \begin{cases} 1,&x\in\mathbb{Q},\\\ x+1,&x\notin\mathbb{Q}. \end{cases}
Pede-se calcular f(\sqrt{3})\]. Aqui o conteúdo fundamental é reconhecer se \(\sqrt{3} é racional ou irracional e, então, aplicar a regra correspondente.

Passo 2

Sabemos que \sqrt{3} não pode ser expresso como quociente de dois inteiros, ou seja, \sqrt{3}\notin\mathbb{Q}. Portanto, \sqrt{3} é um número irracional.

Passo 3

Como \sqrt{3}\notin\mathbb{Q}, usamos a segunda parte da definição de f, isto é,
f(x)=x+1\quad\text{quando }x\notin\mathbb{Q}.
Logo,
f(\sqrt{3})=\sqrt{3}+1.

Resposta

f(\sqrt{3})=\sqrt{3}+1

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