Seja
uma função que satisfaz a
para todo
e para um certo número positivo fixo
, isto é,
é periódica com período
em
. Mostre que
Passo 1
O enunciado pede para calcular a transformada de Laplace de uma função periódica de período
, isto é,
para todo
. O conteúdo aqui é a definição da transformada de Laplace e o uso de somatório de integrais em intervalos de comprimento
.
Passo 2
Pela definição, a transformada de Laplace de
é
Como
é periódica de período
, podemos decompor essa integral em somatório sobre cada período:
Passo 3
Em cada termo do somatório fazemos a mudança de variável
, onde
varia de
a
. Como
, cada integral torna-se
Passo 4
Substituindo no somatório,
O segundo fator é uma série geométrica que converge para
sempre que
.
Passo 5
Logo obtemos