Verifique que se \widetilde{f}(s) é a transformada de Laplace de f(t), então
-\frac{d}{d s} \widetilde{f}(s)=\mathscr{L}\{t f(t)\}
Em geral, verifique que
(-1)^{n} \frac{d^{n}}{d s^{n}} \widetilde{f}(s)=\mathscr{L}\left\{t^{n} f(t)\right\}, \quad n=1,2,3, \ldots

Passo 1

O enunciado nos dá
\widetilde{f}(s)=\mathscr{L}\{f(t)\}=\int_{0}^{\infty}f(t)\,e^{-s t}\,dt
e pede para mostrar que
-\,\frac{d}{ds}\widetilde{f}(s)=\mathscr{L}\{t\,f(t)\},
e mais geralmente
(-1)^{n}\frac{d^{n}}{ds^{n}}\widetilde{f}(s)=\mathscr{L}\{t^{n}f(t)\},\quad n=1,2,\dots
O que vamos usar é a derivação sob o sinal de integral (supondo as condições de convergência necessárias).

Passo 2

Começamos calculando
\frac{d}{ds}\widetilde{f}(s) =\frac{d}{ds}\int_{0}^{\infty}f(t)\,e^{-s t}\,dt
e, trocando derivada e integral, obtemos
\frac{d}{ds}\widetilde{f}(s) =\int_{0}^{\infty}f(t)\,\frac{d}{ds}e^{-s t}\,dt =\int_{0}^{\infty}f(t)\,(-t)e^{-s t}\,dt =-\int_{0}^{\infty}t\,f(t)\,e^{-s t}\,dt =-\mathscr{L}\{t\,f(t)\}.
Logo
-\,\frac{d}{ds}\widetilde{f}(s)=\mathscr{L}\{t\,f(t)\}.

Passo 3

Para estender a potência t^{n} basta usar indução. Suponha que
(-1)^{k}\frac{d^{k}}{ds^{k}}\widetilde{f}(s) =\mathscr{L}\{t^{k}f(t)\}.
Então
\frac{d^{k+1}}{ds^{k+1}}\widetilde{f}(s) =\frac{d}{ds}\Bigl(\frac{d^{k}}{ds^{k}}\widetilde{f}(s)\Bigr)
e multiplicando por (-1)^{k+1}, usamos o resultado do passo 2 com f(t) substituído por t^{k}f(t). Isso dá
(-1)^{k+1}\frac{d^{k+1}}{ds^{k+1}}\widetilde{f}(s) =\mathscr{L}\{t\,(t^{k}f(t))\} =\mathscr{L}\{t^{k+1}f(t)\}.
Assim a fórmula vale para todo n.

Resposta

-\dfrac{d}{ds}\widetilde{f}(s)=\mathscr{L}\{t\,f(t)\} \displaystyle(-1)^{n}\dfrac{d^{n}}{ds^{n}}\widetilde{f}(s)=\mathscr{L}\{t^{n}f(t)\},\\ n=1,2,\ldots

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