Seja f, g funções reais e F um campo, mostre que:
\operatorname{div}(\operatorname{fgrad}(f))=f \triangle(f)-\|\operatorname{grad}(f)\|^{2}.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a divergência do campo f\,\grad f, onde f é uma função escalar suficientemente suave (pelo menos C^2). O conteúdo a usar é a fórmula de divergência de um produto escalar–vetor, que diz que, para uma função escalar \varphi e um campo vetorial V,
\div(\varphi\,V)=\grad\varphi\cdot V+\varphi\,\div V.

Passo 2

Aplique a fórmula acima com \varphi=f e V=\grad f.
Então
\grad\varphi=\grad f, \quad \div V=\div(\grad f)=\Delta f,
onde \Delta f=\div(\grad f) é o Laplaciano de f.

Passo 3

Substituindo em \div(\varphi\,V)=\grad\varphi\cdot V+\varphi\,\div V temos
\div\bigl(f\,\grad f\bigr) =\grad f\cdot\grad f +f\,\Delta f =\|\grad f\|^2+f\,\Delta f.

Resposta

\displaystyle \div\bigl(f\,\grad f\bigr)=f\,\Delta f+\|\grad f\|^2. Observação: o sinal negativo que aparece no enunciado está trocado; a identidade correta leva soma de \|\grad f\|^2.

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