Seja W o sólido limitado por x^{2}+y^{2}=4, z=0, z=3. Calcule o fluxo de F através da superfície S=\partial W, com campo de vetores normais exterior a S, se:
F(x, y, z)=(-y, x, 0).

Passo 1

O enunciado dá um sólido W que é o cilindro de raio 2 compreendido entre z=0 e z=3, e pede o fluxo de
F(x,y,z)=(-y,\,x,\,0)
através da superfície fechada S=\partial W, com normal exterior. Vamos usar o Teorema da Divergência para simplificar o cálculo.

Passo 2

Calculamos a divergência de F:
\operatorname{div}F = \frac{\partial(-y)}{\partial x} + \frac{\partial(x)}{\partial y} + \frac{\partial(0)}{\partial z} =0 + 0 + 0 = 0.

Passo 3

Pelo Teorema da Divergência, o fluxo de F em S é
\iint_{S}F\cdot n\,dS =\iiint_{W}\operatorname{div}F\,dV =\iiint_{W}0\,dV =0.

Resposta

0

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