Seja
um domínio onde vale o Teorema de Gauss e sejam
. Então valem as famosas identidades de Green.
onde
é a derivada direcional da direção do vetor normal unitária externa.
Sugestão: Para mostrar a primeira igualdade tome
. Para mostrar a segunda igualdade basta usar a primeira.
Sugestão: Para mostrar a primeira igualdade tome
Passo 1
O enunciado pede para mostrar, num domínio
onde vale o Teorema de Gauss, que para
valem as identidades de Green:
e
Vamos usar o Teorema da Divergência (Gauss) e cálculo de divergência de campos vetoriais.
Passo 2
Definimos o campo vetorial
Calculamos sua divergência:
Passo 3
Pelo Teorema de Gauss,
Mas
. Logo,
que é a primeira identidade de Green.
Passo 4
Repetimos o mesmo raciocínio trocando
. Isso dá
Passo 5
Subtraindo a identidade obtida em
Passo 6
o que é equivalente à segunda identidade de Green.
Resposta
As duas identidades de Green foram demonstradas conforme os passos acima.