Seja f: I \rightarrow \mathbb{R} uma função monótona, definida no intervalo I. Se a imagem f(I) é um intervalo, prove que f é contínua.
Passo 1
O que o enunciado dá e pede (em linguagem clara):
Dado: f: I \to \mathbb{R} é uma função monótona definida num intervalo I.
Dado: a imagem f(I) é um intervalo (ou seja, um conjunto convexo em \mathbb{R}).
Pedido: provar que f é contínua (em todo ponto de I).
Informações relevantes que vamos usar (sem resolver ainda):
A monotonicidade significa que f é ou não-decrecente ou não-increcente em todo I.
Precisamos mostrar continuidade em qualquer ponto c\in I, incluindo os extremos (continuidade unilaterial nos extremos).
Passo 2
Redução e escolha do caso mais simples (sem perda de generalidade).
Posso assumir, sem perda de generalidade, que f é não-decrecente (isto é, x_1<x_2 \Rightarrow f(x_1)\le f(x_2)).
Justificativa: se f for não-increcente, considera-se -f (que é não-decrecente). Note que -f(I) é intervalo se e somente se f(I) é intervalo, e continuidade de -f equivale à de f. Portanto tratar o caso não-decrecente basta.
Objetivo concreto: provar que, para todo c\in I, \lim_{x\to c} f(x)=f\text{(c)} (ou limites unilaterais corretos nos extremos).
Passo 3
Construção dos limites unilaterais para um ponto interior c.
Definir as quantidades (existem porque usaremos sup e inf de conjuntos não vazios quando apropriado):L:=\sup\{f(x)\mid x<c,\; x\in I\}, \qquad R:=\inf\{f(x)\mid x>c,\; x\in I\}.(Se c for extremo esquerdo de I, o conjunto para L é vazio e não usamos L; se for extremo direito, o conjunto para R é vazio e não usamos R.)
Explicando o significado de sup e inf de forma simples: \sup é o menor majorante (o menor número que é maior ou igual a todos os valores do conjunto) e \inf é o maior minorante (o maior número que é menor ou igual a todos os valores do conjunto).
Porque esses sup e inf existem (em \mathbb{R} ou \overline{\mathbb{R}}): para função não-decrecente, o conjunto \{f(x):x<c\} é limitado superiormente por f\text{(c)} (pois para x<c vale f(x)\le f\text{(c)}), então L é bem definido; análogamente \{f(x):x>c\} é limitado inferiormente por f\text{(c)} e R é bem definido.
Relação com limites unilaterais: para função não-decrecente é padrão (e aqui usamos a ideia) que\lim_{x\to c^-} f(x)=L, \qquad \lim_{x\to c^+} f(x)=R.Intuição/pequena prova: dado \varepsilon>0, por definição de L=\sup\{f(x):x<c\} existe x<c com f(x)>L-\varepsilon; como a família de valores à esquerda não passa de L, para x suficientemente próximos e menores que c teremos f(x) arbitrariamente próximos de L. Sem monotonicidade essa construção falharia, mas a monotonicidade garante que ao aproximar x por valores menores os f(x) não “pulam” acima de L. Análogo para R.
Passo 4
Relacionar L,R com o valor f\text{(c)} e analisar o que ocorreria se houvesse salto.
Pela monotonicidade (não-decrecente) temos imediatamenteL \le f\text{(c)} \le R.Explicação: para todo x<c vale f(x)\le f\text{(c)}, logo f\text{(c)} é um majorante do conjunto à esquerda, então L\le f\text{(c)}. Para todo x>c vale f(x)\ge f\text{(c)}, logo f\text{(c)} é um minorante do conjunto à direita, então f\text{(c)}\le R.
Se houver descontinuidade de salto em c, ocorre L<R. (Casos possíveis: f\text{(c)} pode estar em qualquer posição entre L e R, mas o essencial é que os limites unilaterais sejam distintos.)
Passo 5
Mostrar que um salto produziria uma lacuna na imagem f(I), contradizendo que f(I) é intervalo.
Suponha que em algum c\in I tenhamos L<R. Tome qualquer valor y com L<y<R.
Para todo x<c temos f(x)\le L<y. Para todo x>c temos f(x)\ge R>y. Para x=c temos f\text{(c)}\not\in(L,R) porque L\le f\text{(c)}\le R. Logo não existe x\in I tal que f(x)=y. Assim o intervalo aberto (L,R) não intersecta f(I).
Conclusão: se L<R então f(I) possui uma “lacuna” (L,R) e, portanto, f(I) não é um intervalo. Isto contradiz a hipótese do enunciado.
Portanto, a hipótese de que f(I) é intervalo força L=R para todo c\in I.
Passo 6
Concluir continuidade ponto a ponto, incluindo extremos.
Como L=R e já sabemos L\le f\text{(c)}\le R, segue L=R=f\text{(c)}. Assim\lim_{x\to c^-} f(x)=\lim_{x\to c^+} f(x)=f\text{(c)},ou seja, o limite bilateral existe e é igual a f\text{(c)}. Logo f é contínua em c.
Para pontos que são extremos do intervalo I aplicam-se variantes unilaterais do mesmo argumento: se a é o extremo esquerdo, defina R=\inf\{f(x):x>a\}. Se f(a)<R haveria uma lacuna (f(a),R) não atingida por f, contradizendo que f(I) é intervalo; logo f(a)=R e f é contínua à direita em a. Análogo para o extremo direito.
Passo 7
Encerramento e comentário final (ânimo).
Conseguimos mostrar que em qualquer ponto c\in I os limites unilaterais coincidem com f\text{(c)}, portanto f é contínua em todo I.
Encerrando: a hipótese “monótona + imagem é intervalo” impede saltos; isso força continuidade. Boa notícia: o argumento é curto e baseado apenas em ideias de sup/inf e na definição de intervalo — nada profundo demais, dá para escrever rápido na prova.
Resposta
\text{A função }f\text{ é contínua em todo o intervalo }I.çãéí