Seja
uma função derivável até segunda ordem. Decida se cada afirmação abaixo é verdadeira ou falsa. Justifique sua resposta, apresentando uma demonstração, caso a afirmação seja verdadeira, ou exibindo um contraexemplo, caso seja falsa.
Se
é assíntota de
para
e se
, então
.
Se
Passo 1
O enunciado diz que temos uma função f definida e duas vezes derivável em (0,+∞), que admite uma assíntota y=mx+n para x→+∞, isto é
, e que
. Queremos mostrar que
.
Passo 2
Como
é assíntota, podemos escrever
onde
quando
. Dividindo ambos os lados por x:
Tome o limite quando
. Como
e
, segue que
Passo 3
Por outro lado, usamos o teorema fundamental do cálculo. Para x>1,
Dividindo por x:
Passo 4
Como
e sabendo que
, podemos mostrar por estimativa de integral que
Logo
Passo 5
Como os dois limites de
existem e valem m e L, conclui-se que
Resposta
Verdadeiro. m = L.