Seja f:] 0,+infty[ R uma função derivável até segunda ordem. Decida se cada afirmação abaixo é verdadeira ou falsa. Justifique sua resposta, apresentando uma demonstração, caso a afirmação seja verdadeira, ou exibindo um contraexemplo, caso seja falsa.
Se y=m x+n é assíntota de f para x +infty e se lim x +infty f^prime(x)=L, então m=L.

Passo 1

O enunciado diz que temos uma função f definida e duas vezes derivável em (0,+∞), que admite uma assíntota y=mx+n para x→+∞, isto é limxto+infty[f(x)−(m x+n)]=0, e que limxto+inftyf'(x)=L. Queremos mostrar que m=L.

Passo 2

Como y=mx+n é assíntota, podemos escrever f(x)=m x+n+varepsilon(x) onde varepsilon(x)to0 quando xto+infty. Dividindo ambos os lados por x:
f(x)x=m+nx+varepsilon(x)x
Tome o limite quando xto+infty. Como n/xto0 e varepsilon(x)/xto0, segue que
limxto+inftyf(x)x=m

Passo 3

Por outro lado, usamos o teorema fundamental do cálculo. Para x>1,
f(x)=f(1)+integral1^xf'(t),dt
Dividindo por x:
f(x)x=f(1)x+1xintegral1^xf'(t),dt

Passo 4

Como f(1)/xto0 e sabendo que f'(t)to L, podemos mostrar por estimativa de integral que
limxto+infty1xintegral1^xf'(t),dt=L
Logo
limxto+inftyf(x)x=L

Passo 5

Como os dois limites de f(x)/x existem e valem m e L, conclui-se que
m=L

Resposta

Verdadeiro. m = L.

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