Seja f: M_{3}(\mathbb{R}) \rightarrow \mathbb{R} a função definida por f(A)=\operatorname{det}(A). Nas asserções abaixo, classifique em verdadeiro ou falso, justificando cada uma delas.
Se f(A)=0, então A=0.

Passo 1

O enunciado dá a função f: M_{3}(\mathbb{R}) \to \mathbb{R} definida por f(A)=\det(A). A asserção a ser classificada é:
“Ao se ter f(A)=0, então A=0.”
Ou seja, pergunta-se se toda matriz A\in M_{3}(\mathbb{R}) com \det(A)=0 precisa ser a matriz nula.

Passo 2

Vamos entender o que significa \det(A)=0. Alguns fatos importantes e fáceis de lembrar:
  • A definição intuitiva: \det(A)=0 indica que as linhas (ou colunas) de A são linearmente dependentes. Em linguagem simples: existe alguma combinação linear não trivial das linhas que dá a linha zero.
  • Consequência prática: \det(A)=0 significa que A não é invertível (é singular). Existe um vetor não nulo v tal que Av=0.
  • Importante notar: nada disso exige que todas as entradas de A sejam zero; apenas que as linhas (ou colunas) não sejam todas linearmente independentes.
Esses pontos mostram que \det(A)=0 é uma condição sobre dependência linear/inversibilidade, não uma afirmação de que cada entrada da matriz é zero.

Passo 3

Uma maneira direta de ver se a asserção é verdadeira é buscar um contraexemplo: uma matriz não nula com determinante zero.
Considere a matriz diagonal (ou triangular) abaixo:
A=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.
Esta matriz não é a matriz nula, pois tem entradas 1 em posições (1,1) e (3,3). Vamos calcular o determinante. Como A é triangular, o determinante é o produto dos elementos da diagonal:
\det(A)=1\cdot 0\cdot 1 = 0.
Portanto f(A)=\det(A)=0 mas A\neq 0. Isso é um contraexemplo que mostra que a implicação proposta não vale.]

Passo 4

Interpretação final do contraexemplo: existem muitas matrizes não nulas cuja determinant é zero (por exemplo, qualquer matriz que tenha uma linha nula ou duas linhas iguais). Logo, a afirmação "se f(A)=0 então A=0" é falsa.
Um comentário útil para fixar: a implicação correta e simples é a contrária parcial — se A=0 então \det(A)=0. A implicação dada no enunciado é mais forte e não é verdadeira.

Resposta

Falso.

Exercícios relacionados