Seja f: M_{3}(\mathbb{R}) \rightarrow \mathbb{R} a função definida por f(A)=\operatorname{det}(A). Nas asserções abaixo, classifique em verdadeiro ou falso, justificando cada uma delas.
f é sobrejetiva.

Passo 1

O enunciado nos dá a função f: M_{3}(\mathbb{R}) \to \mathbb{R} definida por f(A)=\det(A). A asserção a classificar é: " f é sobrejetiva."
Dados relevantes:
  • O domínio é o conjunto de todas as matrizes 3\times3 com entradas reais, M_{3}(\mathbb{R}).
  • A imagem pedida é o conjunto dos números reais \mathbb{R}.
  • A função associa a cada matriz seu determinante, que é um número real.
O que se pede: decidir se para todo y\in\mathbb{R} existe uma matriz A\in M_{3}(\mathbb{R}) tal que \det(A)=y. Se sim, f é sobrejetiva; se existir algum y sem pré-imagem, f não é sobrejetiva.

Passo 2

Definição (explicada de forma simples): uma função f:X\to Y é sobrejetiva (ou “sobre”) quando todo elemento de Y é imagem de pelo menos um elemento de X. Em símbolos: f é sobrejetiva se, para todo y\in Y, existe x\in X tal que f(x)=y.
Aplicando aqui: devemos mostrar (ou refutar) que para qualquer real r existe uma matriz A\in M_{3}(\mathbb{R}) com \det(A)=r.

Passo 3

Estratégia prática e simples: construir explicitamente, para um r qualquer dado, uma matriz A cujo determinante seja exatamente r. Uma construção muito conveniente é usar uma matriz diagonal, porque o determinante de uma matriz diagonal é muito fácil de calcular (é o produto dos elementos da diagonal). Vou explicar e justificar essa propriedade.
Propriedade (fácil de ver): se
D=\begin{pmatrix} d_1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & d_2 & 0\\[4pt] 0 & 0 & d_3 \end{pmatrix},
então \det(D)=d_1d_2d_3.
Justificativa curta e didática: pela fórmula de Leibniz para o determinante,
\det(D)=\sum_{\sigma\in S_3}\operatorname{sgn}(\sigma)\,d_{1,\sigma(1)}d_{2,\sigma(2)}d_{3,\sigma(3)},
onde S_3 é o conjunto das permutações de \{1,2,3\}. Como em D todos os elementos fora da diagonal são zero, qualquer permutação \sigma que não seja a permutação identidade dá um produto com pelo menos um fator zero; portanto apenas a permutação identidade contribui, e para ela o produto é d_1d_2d_3 com sinal +1. Logo \det(D)=d_1d_2d_3.]

Passo 4

Construção explícita para um r\in\mathbb{R}: escolha
A=\begin{pmatrix} r & 0 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\in M_{3}(\mathbb{R}).
Pelo que vimos no passo anterior,
\det(A)=r\cdot 1\cdot 1 = r.
Isso vale para qualquer r\in\mathbb{R}, inclusive r=0 e r<0.]

Passo 5

Conclusão lógica: dado um r arbitrário em \mathbb{R} encontramos explicitamente uma matriz A\in M_{3}(\mathbb{R}) com \det(A)=r. Portanto, para todo r\in\mathbb{R} existe pelo menos uma pré-imagem em M_{3}(\mathbb{R}). Isso é exatamente a definição de sobrejetividade, logo f é sobrejetiva.

Resposta

Verdadeiro.

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