Mostre que se A é uma matriz quadrada, então \operatorname{det}\left(A^{n}\right)=(\operatorname{det}(A))^{n} para todo n \geq 1. Se A é invertível, então a igualdade vale também para todo n \leq 0; em particular, \operatorname{det}\left(A^{-1}\right)= \frac{1}{\operatorname{det}(A)}. Use esse resultado para calcular \operatorname{det}\left(A^{-100}\right), onde A=\left[\begin{array}{ll}4 & 1 \\\\ 2 & 1\end{array}\right].
Passo 1
O enunciado dá uma matriz quadrada A e pede para mostrar a identidade \operatorname{det}\left(A^{n}\right)=(\operatorname{det}(A))^{n} para todo n\ge 1. Em seguida pede que, quando A for invertível, a igualdade valha também para n\le 0; em particular que \operatorname{det}\left(A^{-1}\right)=\dfrac{1}{\operatorname{det}(A)}. Finalmente temos que aplicar esse resultado para calcular \operatorname{det}\left(A^{-100}\right) para a matriz
A=\begin{pmatrix}4 & 1\\[4pt] 2 & 1\end{pmatrix}.
Informações relevantes fornecidas:
A questão exige provar a fórmula para potências inteiras (positivas e, se A for invertível, não-positivas).
A matriz específica para o cálculo final é A=\begin{pmatrix}4 & 1\\\\ 2 & 1\end{pmatrix}.]
Passo 2
Primeiro, precisamos de uma propriedade fundamental do determinante: para quaisquer matrizes quadradas X e Y de mesma ordem, tem-se
Explicação didática e intuição: o determinante mede o fator de escala de volume (ou área no caso 2\times2) que a transformação linear associada a uma matriz aplica a um paralelogramo. Compor duas transformações (multiplicar as matrizes) corresponde a aplicar primeiro uma transformação e depois outra, logo o fator de escala total é o produto dos fatores de escala individuais. Por isso a função determinante multiplica sobre o produto de matrizes. (Formalmente isto pode ser provado a partir da definição por permutações ou usando propriedades axiomatizadas do determinante.)
Passo 3
Agora provamos \operatorname{det}\left(A^{n}\right)=(\operatorname{det}(A))^{n} para n\ge 1 por indução em n.
Base (n=1): \operatorname{det}\left(A^{1}\right)=\operatorname{det}(A)=(\operatorname{det}(A))^{1}. OK.
Passo indutivo: suponha que para algum k\ge 1 valha \operatorname{det}\left(A^{k}\right)=(\operatorname{det}(A))^{k}. Então
Assim a propriedade vale para k+1. Pela indução, vale para todo n\ge 1.
Passo 4
Agora tratamos o caso de n\le 0 quando A é invertível.
Primeiro mostre que \operatorname{det}\left(A^{-1}\right)=\dfrac{1}{\operatorname{det}(A)}. Como A é inversível, AA^{-1}=I. Aplicando o determinante em ambos os lados e usando a multiplicatividade,
Agora, para qualquer inteiro negativo n, escrevemos n=-m com m\ge 1. Então A^{n}=A^{-m}=(A^{-1})^{m}. Aplicando o caso já demonstrado para potências positivas (agora à matriz A^{-1}), temos
Assim, a fórmula \operatorname{det}\left(A^{n}\right)=(\operatorname{det}(A))^{n} vale para todo inteiro n sempre que A for invertível. Em particular, tomamos n=-1 para obter \operatorname{det}\big(A^{-1}\big)=1/\operatorname{det}(A).
Passo 5
Aplicação ao cálculo pedido. Primeiro calculamos \operatorname{det}(A) para a matriz dada. Para uma matriz 2\times2
\begin{pmatrix}a & b\\\ c & d\end{pmatrix}
tem-se \operatorname{det}=\,ad-bc. Aqui a=4, b=1, c=2, d=1. Logo
\operatorname{det}\left(A^{n}\right)=(\operatorname{det}(A))^{n} para todo n\ge 1.
Se A é invertível, a mesma igualdade vale para todo n\in\mathbb{Z} e \operatorname{det}\big(A^{-1}\big)=\dfrac{1}{\operatorname{det}(A)}. \operatorname{det}\big(A^{-100}\big)=2^{-100}=\dfrac{1}{2^{100}}