Seja f: \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C} uma função. Demonstre que
f é contínua se, e somente se, f^{-1}(A) é aberto, para todo aberto A \subset \mathbb{C}.

Passo 1

O enunciado pede provar que, para uma função f:\mathbb{C}\to\mathbb{C}, temos
f é contínua”
se, e somente se,
“para todo aberto A\subset\mathbb{C}, o conjunto f^{-1}(A)=\{z\in\mathbb{C}\mid f(z)\in A\}
é aberto.”
Vamos usar a definição de continuidade pontual em termos de \varepsilon
obreakdash– \delta e a noção de bola aberta no plano complexo.

Passo 2

Suponha que f seja contínua. Seja A\subset\mathbb{C} aberto e tome z\in f^{-1}(A). Então f(z)\in A. Como A é aberto, existe \varepsilon>0 tal que
B(f(z),\varepsilon)\;=\;\{w\in\mathbb{C}\mid |w-f(z)|<\varepsilon\} \;\subset\;A.
Pela continuidade de f em z, existe \delta>0 tal que, para todo w\in\mathbb{C},
|w-z|<\delta \quad\Longrightarrow\quad |f(w)-f(z)|<\varepsilon.
Isso mostra que
B(z,\delta)\;=\;\{w\in\mathbb{C}\mid |w-z|<\delta\} \;\subset\; f^{-1}\bigl(B(f(z),\varepsilon)\bigr) \;\subset\; f^{-1}(A).
Logo, em torno de cada ponto de f^{-1}(A) há uma bola contida em f^{-1}(A), o que prova que f^{-1}(A) é aberto.

Passo 3

Agora suponha que, para todo aberto A\subset\mathbb{C}, o conjunto f^{-1}(A) seja aberto. Vamos mostrar que f é contínua em um ponto arbitrário z\in\mathbb{C}. Seja \varepsilon>0 dado e considere o aberto
A \;=\; B\bigl(f(z),\varepsilon\bigr).
Por hipótese, U=f^{-1}(A) é aberto e contém z. Logo, existe \delta>0 tal que
B(z,\delta)\subset U.
Então, se |w-z|<\delta, temos w\in U, isto é, f(w)\in A e portanto
|f(w)-f(z)|<\varepsilon.
Isso mostra exatamente que f satisfaz a condição de \varepsilon
obreakdash– \delta em z, ou seja, f é contínua em z. Como z era arbitrário, f é contínua em todo \mathbb{C}.

Resposta

Prova concluída:
f\text{ é contínua} \quad\Longleftrightarrow\quad \forall\,A\subset\mathbb{C}\text{ aberto, }f^{-1}(A)\text{ é aberto.}éíé

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