Seja
uma função. Demonstre que
é contínua se, e somente se,
é aberto, para todo aberto
.
Passo 1
O enunciado pede provar que, para uma função
, temos
“ é contínua”
se, e somente se,
“para todo aberto , o conjunto
é aberto.”
Vamos usar a definição de continuidade pontual em termos de
obreakdash– e a noção de bola aberta no plano complexo.
“
se, e somente se,
“para todo aberto
é aberto.”
Vamos usar a definição de continuidade pontual em termos de
obreakdash–
Passo 2
Suponha que
seja contínua. Seja
aberto e tome
. Então
. Como
é aberto, existe
tal que
Pela continuidade de
em
, existe
tal que, para todo
,
Isso mostra que
Logo, em torno de cada ponto de
há uma bola contida em
, o que prova que
é aberto.
Passo 3
Agora suponha que, para todo aberto
, o conjunto
seja aberto. Vamos mostrar que
é contínua em um ponto arbitrário
. Seja
dado e considere o aberto
Por hipótese,
é aberto e contém
. Logo, existe
tal que
Então, se
, temos
, isto é,
e portanto
Isso mostra exatamente que
satisfaz a condição de
obreakdash– em
, ou seja,
é contínua em
. Como
era arbitrário,
é contínua em todo
.
obreakdash–
Resposta
Prova concluída: