1. Seja f: \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C} uma função inteira. { }^{1} Demonstre que o seu valor absoluto |f| não pode ser inteira, a menos que f seja constante.

Passo 1

O enunciado diz que f:\mathbb{C}\to\mathbb{C} é inteira (holomorfa em todo \mathbb{C}) e supõe que a função \lvert f\rvert\colon\mathbb{C}\to\mathbb{R} também seja inteira. Queremos mostrar que isso só ocorre se f for constante. Para isso vamos usar dois resultados clássicos de teoria de funções holomorfas:
  1. Qualquer função holomorfa com valores reais é constante (pelas equações de Cauchy–Riemann).
  2. Se f é inteira e não constante, então f(\mathbb{C}) é um conjunto aberto (Teorema da imagem aberta).

Passo 2

Defina
g(z)=\lvert f(z)\rvert,\quad z=x+iy.
Por hipótese g é holomorfa e tem imagem contida em \mathbb{R}. Escrevendo
g(z)=u(x,y)+i\,v(x,y),
vemos que v(x,y)\equiv 0. Das equações de Cauchy–Riemann
u_x=v_y,\quad u_y=-\,v_x
segue
u_x=0,\quad u_y=0,
logo u é constante em \mathbb{R}^2. Portanto
g(z)=\lvert f(z)\rvert = c
para algum c\ge0 e todo z.

Passo 3

Se \lvert f(z)\rvert=c para todo z, então a imagem de f está contida na circunferência de raio c centrada em 0, que não é um conjunto aberto em \mathbb{C}. Mas, se f não fosse constante, o Teorema da Imagem Aberta garante que f(\mathbb{C}) seria aberto. A única forma de conciliar isso é que f seja constante.

Resposta

A única maneira de \lvert f\rvert ser inteira é f ser constante.

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