Seja f: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N} uma função tal que f(x . y)=f(x)+f(y) \quad ; \quad \forall x, y \in \mathbb{N}.
i) Verifique que f(1)=0.
ii) Prove usando indução, que para todo a>0 e todo n \in \mathbb{N} tem-se : f\left(a^{n}\right)=n f(a).
iii) Prove que para todo a>0 e todo n \in \mathbb{N}, tem-se f\left(a^{-n}\right)=-n f(a).
Dica : 1=a^{0}=a^{n-n}=a^{n} . a^{-n}

Passo 1

Resumindo o enunciado, temos uma função f definida em \mathbb{R}^+ (números reais positivos) tal que
f(x\cdot y)=f(x)+f(y)
para todos x,y>0. Precisamos provar:
i) f(1)=0.
ii) Para todo a>0 e todo n\in\mathbb{N}, f\bigl(a^n\bigr)=n\,f(a).
iii) Para todo a>0 e todo n\in\mathbb{N}, f\bigl(a^{-n}\bigr)=-n\,f(a).
Usaremos a propriedade funcional e indução em n.

Passo 2

Para x=y=1 na equação funcional, obtemos
f(1\cdot1)=f(1)+f(1)
ou seja
f(1)=2\,f(1),
daí
f(1)=0.

Passo 3

Prova por indução de que f\bigl(a^n\bigr)=n\,f(a) para todo n\in\mathbb{N}.
Base (n =0): como a^0=1, temos
f\bigl(a^0\bigr)=f(1)=0
e também 0\cdot f(a)=0, logo vale para n=0.
Passo indutivo: suponha que vale para um n\ge0, isto é, f\bigl(a^n\bigr)=n\,f(a). Então
f\bigl(a^{n+1}\bigr) =f\bigl(a^n\cdot a\bigr) =f\bigl(a^n\bigr)+f(a) =n\,f(a)+f(a) =(n+1)\,f(a).
Portanto a fórmula vale para n+1 e, por indução, para todo n\in\mathbb{N}.

Passo 4

Usando a dica a^n\cdot a^{-n}=a^{n-n}=a^0=1, aplique f em ambos os lados:
f\bigl(a^n\cdot a^{-n}\bigr) =f(1)=0 \;\Longrightarrow\; f\bigl(a^n\bigr)+f\bigl(a^{-n}\bigr)=0.
Já sabemos que f\bigl(a^n\bigr)=n\,f(a), então
n\,f(a)+f\bigl(a^{-n}\bigr)=0 \;\Longrightarrow\; f\bigl(a^{-n}\bigr)=-n\,f(a).

Resposta

i) f(1)=0.
ii) Para todo a>0 e n\in\mathbb{N}, f\bigl(a^n\bigr)=n\,f(a).
iii) Para todo a>0 e n\in\mathbb{N}, f\bigl(a^{-n}\bigr)=-n\,f(a).

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