Dizemos que
formam uma tripla de naturais se satisfaz:
.
i) Prove que, para quaisquer
os números,
formam uma tripla de naturais.
ii) Prove que a tripla de naturais do item i) é um múltiplo de 4 .
i) Prove que, para quaisquer
ii) Prove que a tripla de naturais do item i) é um múltiplo de 4 .
Passo 1
O enunciado pede para mostrarmos duas coisas sobre os números
onde
:
- Que
satisfaz a equação de Pitágoras . - Que, nessa tripla, há sempre um elemento divisível por
.
Vamos usar álgebra elementar para a identidade de Pitágoras e um argumento de paridade para a divisibilidade por.
Passo 2
Vamos expandir
em termos de
:
Observe que esse resultado é exatamente
Passo 3
Da conta anterior segue imediatamente que
ou seja,
é de fato uma tripla pitagórica.
Passo 4
Para ver que sempre há um elemento da tripla divisível por
, analisamos a paridade de
e
:
- Se
e têm a mesma paridade (ambos pares ou ambos ímpares), então
e são pares. Logo
é produto de dois pares, isto é, múltiplo de
.
- Se
e têm paridade diferente, então um deles é par, o outro é ímpar, e assim
é
vezes um número par, logo múltiplo de
.
Em qualquer caso, um dos termos da tripla é divisível por
.
Resposta
i)
, logo formam tripla pitagórica.
ii) Ou ou
é múltiplo de
, portanto a tripla tem um elemento divisível por
.
ii) Ou