Dizemos que a, b, c \in \mathbb{N} formam uma tripla de naturais se satisfaz: a^{2}+b^{2}=c^{2}.
i) Prove que, para quaisquer m, n \in \mathbb{N} os números, m^{2}-n^{2}, 2 m n, m^{2}+n^{2} formam uma tripla de naturais.
ii) Prove que a tripla de naturais do item i) é um múltiplo de 4 .

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos duas coisas sobre os números
a = m^{2}-n^{2},\quad b = 2mn,\quad c = m^{2}+n^{2},
onde m,n\in\mathbb{N}:
  1. Que (a,b,c) satisfaz a equação de Pitágoras a^{2}+b^{2}=c^{2}.
  2. Que, nessa tripla, há sempre um elemento divisível por 4.
    Vamos usar álgebra elementar para a identidade de Pitágoras e um argumento de paridade para a divisibilidade por 4.

Passo 2

Vamos expandir a^{2}+b^{2} em termos de m,n:
a^{2}+b^{2} =(m^{2}-n^{2})^{2} + (2mn)^{2} = (m^{4}-2m^{2}n^{2}+n^{4}) + 4m^{2}n^{2} = m^{4} + 2m^{2}n^{2} + n^{4}.
Observe que esse resultado é exatamente
m^{4} + 2m^{2}n^{2} + n^{4} = (m^{2}+n^{2})^{2} = c^{2}.

Passo 3

Da conta anterior segue imediatamente que
(m^{2}-n^{2})^{2} + (2mn)^{2} = (m^{2}+n^{2})^{2},
ou seja, (a,b,c) é de fato uma tripla pitagórica.

Passo 4

Para ver que sempre há um elemento da tripla divisível por 4, analisamos a paridade de m e n:
  • Se m e n têm a mesma paridade (ambos pares ou ambos ímpares), então
    m-n e m+n são pares. Logo
m^{2}-n^{2}=(m-n)(m+n)
é produto de dois pares, isto é, múltiplo de 4.
  • Se m e n têm paridade diferente, então um deles é par, o outro é ímpar, e assim
b = 2mn
é 2 vezes um número par, logo múltiplo de 4.
Em qualquer caso, um dos termos da tripla é divisível por 4.

Resposta

i) (m^{2}-n^{2})^{2} + (2mn)^{2} = (m^{2}+n^{2})^{2}, logo formam tripla pitagórica.
ii) Ou m^{2}-n^{2} ou 2mn é múltiplo de 4, portanto a tripla tem um elemento divisível por 4.

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