Seja
uma função tal que
.
i) Verifique que
.
ii) Prove usando indução, que para todo
e todo
tem-se :
.
iii) Prove que para todo
e todo
, tem-se
.
Dica :
i) Verifique que
ii) Prove usando indução, que para todo
iii) Prove que para todo
Passo 1
Resumindo o enunciado, temos uma função
definida em
(números reais positivos) tal que
para todos
. Precisamos provar:
i) .
ii) Para todo e todo
,
.
iii) Para todo e todo
,
.
Usaremos a propriedade funcional e indução em .
i)
ii) Para todo
iii) Para todo
Usaremos a propriedade funcional e indução em
Passo 2
Para
na equação funcional, obtemos
ou seja
daí
Passo 3
Prova por indução de que
para todo
.
Base (n
): como
, temos
e também
, logo vale para
.
Passo indutivo: suponha que vale para um
, isto é,
. Então
Portanto a fórmula vale para
e, por indução, para todo
.
Passo 4
Usando a dica
, aplique
em ambos os lados:
Já sabemos que
, então
Resposta
i)
.
ii) Para todo e
,
.
iii) Para todo e
,
.
ii) Para todo
iii) Para todo