Use indução para demonstrar os seguintes fatos:
Passo 1
O enunciado pede para mostrar, por indução em
, que
para todo
.
O conteúdo usado será o princípio da indução matemática: verificamos o caso base e depois mostramos que, se vale para
, vale também para
.
O conteúdo usado será o princípio da indução matemática: verificamos o caso base
Passo 2
(Caso base) Para
calculamos
Logo, a propriedade vale para
.
Passo 3
(Passo indutivo – hipótese) Suponha que, para algum
, valha
Queremos mostrar
Passo 4
Escrevemos a soma para
em função da soma para
:
Pela hipótese indutiva,
. Então
Passo 5
Basta agora mostrar
ou equivalentemente
Observemos que, por simetria das frações com denominadores
e
, vale
pois
. Logo
que é exatamente o que precisávamos.
Passo 6
Portanto
completando o passo indutivo. Pelo princípio da indução, a desigualdade vale para todo
.
Resposta
Foi demonstrado que