Use indução para demonstrar os seguintes fatos:
\sum_{i=n}^{3 n-2} \frac{1}{i}>1 \quad ; \quad \forall n \geq 2

Passo 1

O enunciado pede para mostrar, por indução em n, que
\sum_{i=n}^{3n-2}\frac1{i}>1,
para todo n\ge2.
O conteúdo usado será o princípio da indução matemática: verificamos o caso base n=2 e depois mostramos que, se vale para n=k, vale também para n=k+1.

Passo 2

(Caso base) Para n=2 calculamos
\sum_{i=2}^{3\cdot2-2}\frac1{i} =\frac12+\frac13+\frac14 =\frac{6+4+3}{12} =\frac{13}{12}>1.
Logo, a propriedade vale para n=2.

Passo 3

(Passo indutivo – hipótese) Suponha que, para algum k\ge2, valha
\sum_{i=k}^{3k-2}\frac1{i}>1.
Queremos mostrar
\sum_{i=k+1}^{3(k+1)-2}\frac1{i} =\sum_{i=k+1}^{3k+1}\frac1{i}>1.

Passo 4

Escrevemos a soma para n=k+1 em função da soma para n=k:
\sum_{i=k+1}^{3k+1}\frac1{i} =\Bigl(\sum_{i=k}^{3k-2}\frac1{i}\Bigr) -\frac1{k} +\frac1{3k-1}+\frac1{3k}+\frac1{3k+1}.
Pela hipótese indutiva, \sum_{i=k}^{3k-2}1/i>1. Então
\sum_{i=k+1}^{3k+1}\frac1{i} >1-\frac1{k} +\frac1{3k-1}+\frac1{3k}+\frac1{3k+1}.

Passo 5

Basta agora mostrar
-\frac1{k} +\frac1{3k-1}+\frac1{3k}+\frac1{3k+1}\ge0,
ou equivalentemente
\frac1{3k-1}+\frac1{3k}+\frac1{3k+1}>\frac1{k}.
Observemos que, por simetria das frações com denominadores 3k-1 e 3k+1, vale
\frac1{3k-1}+\frac1{3k+1} >\frac{2}{3k}
pois 3k-1<3k<3k+1. Logo
\frac1{3k-1}+\frac1{3k}+\frac1{3k+1} >\frac{2}{3k}+\frac{1}{3k} =\frac{3}{3k} =\frac1{k},
que é exatamente o que precisávamos.

Passo 6

Portanto
\sum_{i=k+1}^{3k+1}\frac1{i} >1-\frac1{k}+\frac1{k} =1,
completando o passo indutivo. Pelo princípio da indução, a desigualdade vale para todo n\ge2.

Resposta

Foi demonstrado que
\sum_{i=n}^{3n-2}\frac1{i}>1 \quad\forall n\ge2.

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