Seja f: \mathbb{R}-\{0\} \rightarrow \mathbb{R} definida por f(x)=x+\frac{x}{|x|}. Prove que \lim _{x \rightarrow 0} f(x) não existe.

Passo 1

O enunciado define a função
f\colon \mathbb{R}\setminus\{0\}\to\mathbb{R},\quad f(x)=x+\frac{x}{|x|},
e pede para mostrar que
\lim_{x\to0}f(x)
não existe. Vamos usar o conceito de limites laterais: para que \lim_{x\to0}f(x) exista, os limites à direita ( x\to0^+) e à esquerda ( x\to0^-) devem existir e ser iguais.

Passo 2

Para calcular as duas limites laterais, primeiro simplificamos f(x) em cada caso de sinal de x. Se x>0, então |x|=x e
\frac{x}{|x|}=\frac{x}{x}=1,
logo, para x>0,
f(x)=x+1.
Se x<0, então |x|=-x e
\frac{x}{|x|}=\frac{x}{-x}=-1,
logo, para x<0,
f(x)=x-1.

Passo 3

Calculamos o limite pela direita:
\lim_{x\to0^+}f(x) =\lim_{x\to0^+}(x+1) =0+1 =1.

Passo 4

Calculamos o limite pela esquerda:
\lim_{x\to0^-}f(x) =\lim_{x\to0^-}(x-1) =0-1 =-1.

Passo 5

Como
\lim_{x\to0^+}f(x)=1 \quad\text{e}\quad \lim_{x\to0^-}f(x)=-1,
esses dois valores são diferentes. Pelo critério de existência de limite em \mathbb{R}, a não coincidência dos limites laterais implica que
\lim_{x\to0}f(x)
não existe.

Resposta

O limite \lim_{x\to0}f(x) não existe.

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