Prove, usando a definição de limite:
\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{1}{2+x}=0

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que
\lim_{x\to +\infty}\frac{1}{x+2}=0
usando a definição de limite quando x tende a +\infty. O conteúdo envolve a noção de “ \varepsilon- N” para limites no infinito.

Passo 2

Recordando a definição: dizemos que
\lim_{x\to+\infty}f(x)=L
se, para todo \varepsilon>0, existe N\in\mathbb{R} tal que, sempre que x>N, valha
\bigl|f(x)-L\bigr|<\varepsilon.

Passo 3

No nosso caso f(x)=\tfrac{1}{x+2} e L=0. Então queremos garantir que, para todo \varepsilon>0, haja N tal que, sempre que x>N, tenha-se
\left|\frac{1}{x+2}-0\right|<\varepsilon.
Como x\to+\infty implica x+2>0, isso equivale a
\frac{1}{x+2}<\varepsilon.

Passo 4

Resolvendo a desigualdade
\frac{1}{x+2}<\varepsilon\quad\Longleftrightarrow\quad x+2>\frac{1}{\varepsilon}\quad\Longleftrightarrow\quad x>\frac{1}{\varepsilon}-2.

Passo 5

Basta, então, escolher
N = \frac{1}{\varepsilon} - 2.
De fato, para qualquer x>N temos x+2>1/\varepsilon e, consequentemente, \tfrac{1}{x+2}<\varepsilon. Isso satisfaz a definição, mostrando que o limite vale 0.

Resposta

\lim_{x\to+\infty}\frac{1}{x+2}=0.

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