Prove, usando a definição de limite:
\lim _{x \rightarrow-1} x^{2}-2 x=3

Passo 1

O enunciado pede para provar que \lim_{x\to-1}(x^2-2x)=3 usando a definição de limite. Para isso, vamos mostrar que
\text{para todo }\varepsilon>0\;\exists\delta>0\text{ tal que, se }0<|x-(-1)|<\delta,\text{ então }|(x^2-2x)-3|<\varepsilon.ã

Passo 2

Calculemos o valor no ponto de interesse:
(-1)^2-2(-1)=1+2=3.
Logo
|(x^2-2x)-3|=|x^2-2x-3|.

Passo 3

Observe que
x^2-2x-3 = (x+1)(x-3),
portanto
|(x^2-2x)-3| = |x+1|\cdot|x-3|.

Passo 4

Queremos controlar |x-3| em termos de |x+1|. Note que
|x-3| = |(x+1)-4| \le |x+1| + 4.
Se restringirmos \delta \le 1, então |x+1|<1 e segue |x-3|<1+4=5.

Passo 5

Com isso,
|(x^2-2x)-3| = |x+1|\cdot|x-3| < |x+1|\cdot 5 = 5\,|x+1|.
Para garantir 5|x+1|<\varepsilon basta exigir |x+1|<\varepsilon/5. Logo podemos escolher
\delta = \min\bigl(1,\;\varepsilon/5\bigr).

Passo 6

Concluímos que, para todo \varepsilon>0, se 0<|x+1|<\delta com \delta acima, então
|(x^2-2x)-3|<\varepsilon,
o que prova a definição de limite.

Resposta

Basta escolher \delta = \min(1,\varepsilon/5).

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