1. Seja F: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} dada por
F(x)=\int_{a(x)}^{b(x)} f(x, t) d t
sendo a, b: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} funções deriváveis e f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R} uma função de classe \mathcal{C}^{1}. Mostre que
F^{\prime}(x)=\int_{a(x)}^{b(x)} \frac{\partial f}{\partial x}(x, t) d t+f(x, b(x)) b^{\prime}(x)-f(x, a(x)) a^{\prime}(x)
Para resolver o exercício a seguir você vai precisar da Regra da Cadeia, do Teorema Fundamental do Cálculo e do seguinte resultado:
Teorema: Seja f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R} uma função de classe \mathcal{C}^{1} e defina a função \Phi: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} por \Phi(x)=\int_{a}^{b} f(x, t) d t. Então a função \Phi é derivável e vale que \Phi^{\prime}(x)=\int_{a}^{b} \frac{\partial f}{\partial x}(x, t) d t.

Passo 1

O enunciado define
F(x)=\int_{a(x)}^{b(x)}f(x,t)\,dt
e pede F'(x). Aqui usamos
– o Teorema Fundamental do Cálculo (TFC) para integrais com limite variável,
– a regra já dada: se \Phi(x)=\int_{a}^{b}f(x,t)\,dt então \Phi'(x)=\int_{a}^{b}\frac{\partial f}{\partial x}(x,t)\,dt,
– e a Regra da Cadeia para compor com a(x) e b(x).

Passo 2

Escolho um ponto fixo c\in\mathbb R e escrevo
F(x) =\int_{a(x)}^{b(x)}f(x,t)\,dt =\int_{c}^{b(x)}f(x,t)\,dt \;-\;\int_{c}^{a(x)}f(x,t)\,dt.
Defino
H_1(x)=\int_{c}^{b(x)}f(x,t)\,dt, \quad H_2(x)=\int_{c}^{a(x)}f(x,t)\,dt,
de modo que F(x)=H_1(x)-H_2(x).

Passo 3

Para H_1(x) uso a hipótese do Teorema (limites constantes) e o TFC:
a) aplicando o Teorema para \Psi(x)=\int_{c}^{u}f(x,t)\,dt com u=b(x), obtemos
\frac{\partial}{\partial x}\Bigl[\int_{c}^{u}f(x,t)\,dt\Bigr] =\int_{c}^{u}\frac{\partial f}{\partial x}(x,t)\,dt.
b) pela regra da cadeia,
H_1'(x) =\int_{c}^{b(x)}\frac{\partial f}{\partial x}(x,t)\,dt \;+\; \underbrace{f\bigl(x,b(x)\bigr)}_{\text{TFC em }t}\,b'(x).

Passo 4

De modo análogo para H_2(x) (agora u=a(x)) temos
H_2'(x) =\int_{c}^{a(x)}\frac{\partial f}{\partial x}(x,t)\,dt \;+\; f\bigl(x,a(x)\bigr)\,a'(x).

Passo 5

Como F(x)=H_1(x)-H_2(x),
F'(x)=H_1'(x)-H_2'(x).
Substituindo as expressões de H_1' e H_2'
F'(x) =\Bigl[\int_{c}^{b(x)}\frac{\partial f}{\partial x}\,dt +f(x,b(x))b'(x)\Bigr] -\Bigl[\int_{c}^{a(x)}\frac{\partial f}{\partial x}\,dt +f(x,a(x))a'(x)\Bigr].
As integrais de \frac{\partial f}{\partial x} de c até b(x) menos de c até a(x) se combinam num só de a(x) até b(x). Logo
F'(x) =\int_{a(x)}^{b(x)}\frac{\partial f}{\partial x}(x,t)\,dt \;+\; f\bigl(x,b(x)\bigr)\,b'(x) \;-\; f\bigl(x,a(x)\bigr)\,a'(x).

Resposta

F'(x) =\int_{a(x)}^{b(x)}\frac{\partial f}{\partial x}(x,t)\,dt +f\bigl(x,b(x)\bigr)\,b'(x) -f\bigl(x,a(x)\bigr)\,a'(x).

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