Seja f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} definida por
f(x, y)= \begin{cases}\frac{x^{2}-y^{2}}{x^{2}+y^{2}}, & x^{2}+y^{2} \neq 0 \\\\ 0 & (x, y)=(0,0)\end{cases}
Mostre que
\lim _{x \rightarrow 0}\left(\lim _{y \rightarrow 0} f(x, y)\right) \neq \lim _{y \rightarrow 0}\left(\lim _{x \rightarrow 0} f(x, y)\right)

Passo 1

O enunciado define
f(x,y)= \begin{cases} \dfrac{x^{2}-y^{2}}{x^{2}+y^{2}},&(x,y)\neq(0,0),\\\\ 0,&(x,y)=(0,0), \end{cases}
e pede para mostrar que
\lim_{x\to0}\bigl(\lim_{y\to0}f(x,y)\bigr)\neq\lim_{y\to0}\bigl(\lim_{x\to0}f(x,y)\bigr).
O conteúdo é o cálculo de limites iterados em duas variáveis, fazendo primeiro o limite interno (fixando uma variável) e depois o externo.

Passo 2

Calcule \displaystyle\lim_{y\to0}f(x,y) para x fixo.
  • Se x\neq0, então
\lim_{y\to0}f(x,y) =\lim_{y\to0}\frac{x^{2}-y^{2}}{x^{2}+y^{2}} =\frac{x^{2}-0}{x^{2}+0} =1.
  • Se x=0, para y\neq0 temos
f(0,y)=\frac{0-y^{2}}{0+y^{2}}=-1,
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\lim_{y\to0}f(0,y)=-1.
Portanto defina
g(x)=\lim_{y\to0}f(x,y)= \begin{cases} 1,&x\neq0,\\\\ -1,&x=0. \end{cases}

Passo 3

Agora faça o limite externo em g(x):
\lim_{x\to0}g(x) =\lim_{x\to0,\,x\neq0}1 =1.
Logo
\lim_{x\to0}\bigl(\lim_{y\to0}f(x,y)\bigr)=1.

Passo 4

Calcule \displaystyle\lim_{x\to0}f(x,y) para y fixo.
  • Se y\neq0,
\lim_{x\to0}f(x,y) =\lim_{x\to0}\frac{x^{2}-y^{2}}{x^{2}+y^{2}} =\frac{0-y^{2}}{0+y^{2}} =-1.
  • Se y=0, para x\neq0 temos
f(x,0)=\frac{x^{2}-0}{x^{2}+0}=1,
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\lim_{x\to0}f(x,0)=1.
Defina
h(y)=\lim_{x\to0}f(x,y)= \begin{cases} -1,&y\neq0,\\\\ 1,&y=0. \end{cases}

Passo 5

Agora o limite externo em h(y):
\lim_{y\to0}h(y) =\lim_{y\to0,\,y\neq0}(-1) =-1.
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\lim_{y\to0}\bigl(\lim_{x\to0}f(x,y)\bigr)=-1.

Resposta

\lim_{x\to0}\bigl(\lim_{y\to0}f(x,y)\bigr)=1 \quad\neq\quad -1=\lim_{y\to0}\bigl(\lim_{x\to0}f(x,y)\bigr).

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