Em um sistema de controle térmico, a distribuição de temperatura sobre uma placa metálica é descrita pela função:
T(x, y)=\left\{\begin{array}{ll} \frac{x^{2} y}{x^{2}+y^{2}}, & x^{2}+y^{2} \neq 0 \\\\ 0 & (x, y)=(0,0) \end{array},\right.
onde x e y (em metros) representam as coordenadas cartesianas na superfície da placa e T(x, y)\left({ }^{\circ} \mathrm{C}\right) representa a temperatura.
(a) Verifique se a função T(x, y) é contínua na origem.
(b) Interprete fisicamente o resultado obtido no contexto do controle térmico: o ponto (0,0) pode ser considerado estável em termos de temperatura?

Passo 1

O enunciado define a função de duas variáveis
T(x,y)= \begin{cases} \dfrac{x^{2}y}{x^{2}+y^{2}},&x^{2}+y^{2}\neq0,\\[6pt] 0,&(x,y)=(0,0), \end{cases}
e pede para verificar se T é contínua em (0,0). Como estamos lidando com continuidade em duas variáveis, vamos precisar estudar o limite de T(x,y) quando (x,y)\to(0,0), e comparar com o valor definido T(0,0)=0.]

Passo 2

Para analisar \lim_{(x,y)\to(0,0)}T(x,y), usamos coordenadas polares:
x=r\cos\theta, \quad y=r\sin\theta, \quad r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}.
Então, para r>0,
T(r\cos\theta,r\sin\theta) =\frac{(r\cos\theta)^{2}(r\sin\theta)}{r^{2}} =r\cos^{2}\theta\,\sin\theta.

Passo 3

Agora avaliamos o valor absoluto para aplicar o Teorema do Confronto (squeeze):
\bigl|T(r\cos\theta,r\sin\theta)\bigr| =\bigl|r\cos^{2}\theta\,\sin\theta\bigr| =r\bigl|\cos^{2}\theta\,\sin\theta\bigr| \le r\cdot1 =r,
pois \bigl|\cos^{2}\theta\,\sin\theta\bigr|\le1 para todo \theta.

Passo 4

Como r\to0 implica r\le r\to0, temos
\lim_{r\to0}\bigl|T(r\cos\theta,r\sin\theta)\bigr|\le\lim_{r\to0}r=0,
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\lim_{(x,y)\to(0,0)}T(x,y)=0.
Como esse limite coincide com o valor T(0,0)=0, concluímos que T é contínua na origem.

Passo 5

Físicamente, continuidade de T em (0,0) significa que pequenas variações na posição ao redor da origem geram pequenas variações na temperatura, sem saltos abruptos. Portanto, o ponto (0,0) é um ponto de temperatura estável, pois a placa não apresenta descontinuidades térmicas nessa região.

Resposta

(a) A função T(x,y) é contínua em (0,0).
(b) Sim. Fisicamente, isso significa que o ponto (0,0) não sofre saltos de temperatura e pode ser considerado estável.

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